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Wie berechnet man von der Funktion

f(t) = 0,25t^3 - 3a * t^2 + 9a^2 * t + 250

a) den Wert von a , für den die Funktionenschar an der Stelle t = 14 die Steigung -48 hat (a=5 lösung)

b) für a = 5 die durchschnittliche Steigung in den ersten 8 Stunden (m=121 lösung)

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Wie berechnet man von der Funktion

f(t) = 0,25t^3 - 3a * t^2 + 9a^2 * t + 250

a) den Wert von a , für den die Funktionenschar an der Stelle t = 14 die Steigung -48 hat (a=5 lösung)

f ´( t ) = 0,75t^2 - 6a * t + 9a^2
f ´( 14 ) = 0,75 * 14 ^2 - 6a * 14 + 9a^2  = -48
0,75 * 14 ^2 - 6a * 14 + 9a^2  = -48
147 + 9a^2 - 84a = -48
9a^2 - 84a = -48 - 147
Mitternachsformel oder pq-Formel
oder quadratische Ergänzung
a = 5
oder
a = 13 / 5

b) für a = 5 die durchschnittliche Steigung in den ersten 8 Stunden (m=121 lösung)

eine ganz allgemeine Lösung
( x | y )
( 0 | f5 ( 0 )
( 8  | f5 ( 8) )

m = [ f5 ( 8 ) - f5 ( 0 ) ] / [ 8 - 0 ]

Kontrolliert m = 121

Bei Bedarf nachfragen.

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Hallo

a) man differenziert, setzt t=14  in f'(t) ein ,  setzt f'(f14=-48 und löst nach a auf.

b) a=5 in f einsetzen dann ist ( f(8)-f(0))/8 die durchschnittliche Steigung, wenn t in Stunden gegeben ist.

Gruß lul

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  Erste Ableitung


      f  '  (  t0  )  =  3/4  t0  ²  -  6  a  t0  +  9  a  ²  =  (  -  48  )     |   :  3       (  1a  )


     Anmerkung; auch Gleichungen sind zu kürzen.  Bei mir würd's ja Strafpunkte hageln ohne Ende; Kürzen ist sogar noch wichtiger  als Terme zusammen Fassen oder Einsetzen von diesem t0 .


      3  a  ²  -  2  a  t0  +  1/4  t0  ²  +  16  =  0        (  1b  )


      Die Viertel lasse  ich ausnahmsweise mal stehen, obwohl ich Brüchen  abhold bin wegen der Primfaktorenzerlegung  14  =  2  *  7   ;  das kürzt sich wieder. Also einsetzen von t0  =  14


     3  a  ²  -  28  a  +  49  +  16  =  0       (  1c  )

       a2  x  ²  +  a1  x  +  a0  =  0       (  2a  )

       a2  =  3  ;  a1  =  (  -  28  )  ;  a0  =  65      (  2b  )


    Nein  ich geh nicht über die Mitternachtsformel,  sondern über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )   Zunächst  bezeichnete mich ein User als Troll , " weil ich nicht zitiere, dass Gauß der Entdecker "  sei.

    In der Tat steht das so bei allen Autoren, die ihn überhaupt zitieren - einschließlich Wiki.

     Seit ich nun entschlossen die Ansicht vertrete,  dass es sich bei dieser Zuschreibung an Gauß um eine Fälschung handelt  -  ===> Artin   und  ===>  v. d. Waerden kennen ihn nicht - meldete sich ein zweiter Kommentator zu Wort

     "  Der  SRN  ist nachgewiesen  mindestens seit  1975 .  Ich selber habe nie behauptet,  dass Gauß der Entdecker sei  ... "

    In der Tat ist der SRN noch der Art neuen Datums,  dass ihn kein Autor korrekt zitiert;   mir fiel auf, dass er doch nur eine Aussage trifft über primitive Polynome ( Warum? ) Ferner   bewies ich noch in jener Woche im Jahre 2011, als ich erstmals vom SRN erfuhr, das folgende Lemma


        KOROLLAR  zum  SRN   ( Zerlegungssatz  )

     ==========================================

      Gegeben eine primitive quadratische Gleichung  analog  ( 2ab )  Seien ferner  x1;2   ihre Wurzeln


         x1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q       (  3a  )


         Wie üblich  werde  ( 3a )  als gekürzt voraus gesetzt.  Dann gelten die beiden Habakuk  pq-Formeln


         p1  p2  =  a0  =  65      (  3b  )

        q1  q2  =  a2  =  3       (  3c  )


      ===============================================


        Im Falle  ( 3b )  haben wir noch ein Vorzeichenproblem,  da ja  "  Minus Mal Minus "  auch Plus ergibt.  Hier entscheidet die cartesische Vorzeichenregel;

           " Zwei Mal Plus "

    Rein kombinatorisch stehen vier Kandidaten zur  Auswahl; hinreichende Bedingung -  überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer Vieta p .  Wir benötigen die Normalform von   ( 2ab )


            x  ²  -  p  x  +  q  =  0        (  4a  )

             p  =  28/3  ;  q  =  65/3     (  4b  )

             p  =  x1  +  x2        (  4c  )

       x1  =  1/3  ;  x2  =  65  ;  p  =  196/3         (  5a  )

        x1  =  1  ;  x2  =  65/3  ;  p  =  68/3        (  5b  )

        x1  =  5/3  ;  x2  =  13  ;  p  =  44/3      (  5c  )

        x1  =  13/3  ;  x2  =  5  ;  p  =  28/3      (  5d  )    ;   ok

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