Tangente, Sekante, Passante: f(x) = 4x^2 - 12x + 2

Question

Aufgabe 1:

Gegeben sind die quadratische Funktion \( f \) mit \( f(x)-4 x^{2}-12 x+2 \) und zwei Punkte des Graphen Bestimme die Gleichung der Sekante, die durch die zwei Punkte der Parabel verläuft.

a) \( P(0 | 2) \) und \( Q(2|-6) \)

b) \( P(-3 | 74) \) und \( Q(5 | 42) \)

c) \( P(-1| ?) \) und \( Q(0 | ?) \)

d) \( P(1| ?) \) und \( Q(4 | ?) \)

e) Die Punkte an den Stellen \( x=1 \) und \( x=3 \)

f) Die Punkte an den Stellen \( x=-2 \) und \( x=0 \).

Aufgabe 2:

Gegeben ist die Funktion f mit \( f(x)=3 x^{2}-7 x+2 \). Untersuche, ob die Gerade durch die Prunkte \( P \) und \( Q \) eine Tangente, eine Passante oder eine Sekante ist.

a) \( P(0 | 2) \) und \( Q(2 |-6) \)

b) \( P(0 | 2) \) und \( Q(3 |-19) \)

c) \( P(0 |-1) \) und \( Q(2 |-6) \)

Answer 1

Hi, 

jetzt erbarmt sich endlich jemand :-)

 

1)

f(x) = 4x² - 12x + 2

Hier ist schon gesagt, dass die Gerade eine Sekante ist, also zwei Schnittpunkte mit dem Graphen von f(x) hat. 

a) 

P(0|2) Q(2|-6)

y-Achsenabschnitt offensichtlich 2, Anstieg = (-6-2)/(2-0) = -4

Die Gleichung lautet 

s = -4x + 2

b)

P(-3|74) Q(5|42)

Anstieg = (42-74)/(5+3) = -4

Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzen wir -4 in P ein: 

74 - (-4)*(-3) = 62 

Die Gleichung lautet:

s = -4x + 62

c)

P(-1|?) Q(0|?)

Eingesetzt in f(x) ergibt das

P(-1|18) Q(0|2)

Anstieg = (2-18)/(0+1) = -16, y-Achsenabschnitt = 2

s = -16x + 2

d)

P(1|?) Q(4|?)

Eingesetzt in f(x) ergibt das

P(1|-6) Q(4|18)

Anstieg = (18+6)/(4-1) = 8

y-Achsenabschnitt = -6 -8*1 = -14

s = 8x - 14

e) und f) werden genauso gerechnet: Die vier x-Werte in f(x) einsetzen, um die y-Werte und damit die Punkte zu erhalten, Anstieg und y-Achsenabschnitt berechnen.

 

Rest folgt in einem Kommentar, falls nicht schon von anderen gelöst :-)

Comments

Aufgabe 2)

f(x) = 3x² - 7x + 2

Tangente: Gerade hat einen Punkt mit Graph von f(x) gemein, Sekante: Gerade hat zwei Punkte mit dem Graph von f(x) gemein, Passante: Kein gemeinsamer Punkt.

a)

P(0|2) Q(2|-6)

Anstieg = (-6-2)/(2-0) = -4; y-Achsenabschnitt = 2

s = -4x + 2

Test auf gemeinsame(n) Punkt(e): 

-4x + 2 = 3x² - 7x + 2

3x² -3x = 0

x₁ = 0

x₂ = 1

Sekante

Gemeinsame Punkte: P(0|2) und Q(1|-2)

b)

P(0|2) Q(3|-19)

Anstieg = (-19-2)/(3-0) = -7; y-Achsenabschnitt = 2

s = -7x + 2

Test auf gemeinsame(n) Punkt(e):

-7x + 2 = 3x² -7x + 2

3x² = 0

x = 0

Tangente

Gemeinsamer Punkt P(0|2)

c) wird genauso gerechnet; ich vermute, das ist eine Passante :-)

Oh, tatsächlich :-D

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Könntest du mir noch zuletzt einen kurzen Ansatz zu 3 geben..nur kurz mit einem beispiel das würde mich freuen ..

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O.k., ganz schnell :-)

3)

f(x) = 4x²

a) m = 2

Wenn die Tangente am gesuchten Punkt den Anstieg 2 hat, muss der Graph der Funktion f(x) dort ebenfalls den Anstieg 2 haben. 

Also bilden wir die 1. Ableitung und setzen sie = 2

f'(x) = 8x

8x = 2

x = 1/4

Der gesuchte Punkt lautet also P(1/4|f(1/4)) = P(1/4|4*(1/4)²) =

P(1/4|1/4) = P(0,25|0,25)

Bei den anderen Aufgaben bitte genauso vorgehen.