Gleichungen, Ungleichungen lösen. a. | x+1 | - |x - 1 | = 1

Question

1. | x+1 | - |x - 1 | = 1

kann/darf ich bei dieser Ungleichung eifach quadrieren oder muss ich hier Fallunterscheidungen machen?

2. x³ - x² < 2x -2

Ich bringe hier alles auf eine Seite und mach dann eine Polynomdivision. Wie geht es aber dann weiter mit dem "<" ?

Answer 1

2. x³ - x² < 2x -2

x^3 - x^2 - 2x -2 < 0

x^2(x-1) - 2(x-1) < 0

(x^2 - 2)(x-1) < 0

x_1,2 = ± √2, x₃ = 1.

Ich bringe hier alles auf eine Seite und mach dann eine Polynomdivision.

Nun hast du im besten Fall alle Nullstellen. Zeichne die auf der x-Achse ein.

Wie geht es aber dann weiter mit dem "<" ?

Weil vor x^3 kein negativer Faktor steht, weiss man dass die Kurve global von links unten nach rechts oben verlaufen muss. Du kennst alle Nullstellen. Skizziere daher eine Kurve, die nur in den Nullstellen die x-Achse überquert beginnend von links unten, am Schluss bist du rechts oben. 

Annahme: Du hast 3 Nullstellen a<b<c

so verläuft nun die Kurve links von a sowie zwischen b und c unterhalb der x-Achse. Dort ist die Ungleichung erfüllt. Also: L = {x| x < a  oder b<x<c }

Hier: L = {x| x < -√2 oder 1 < x < √2 }

1. | x+1 | - |x - 1 | = 1

kann/darf ich bei dieser Gleichung eifach quadrieren oder muss ich hier Fallunterscheidungen machen?

( | x+1 | - |x - 1 |)^2 = 1^2

Darfst du so quadrieren:

(x+1)^2 - 2 |(x+1)(x-1)| + (x-1)^2 = 1

Frage ist, ob du damit dann etwas gewonnen hast. 

 

Comments

danke erstmal :)

wenn ich bei Nr. 1 dann eine Fallunterschiedung machen würde, wie viele hätte ich dann?

Muss ich das so aufspalten:

1. Fallunterscheidung. x +1 > 0 und x-1 >0

2. Fallunterscheidung x+1 > 0 und x-1 <0

3. Fallunterscheidung: x+1< 0 und x-1 <0

4. Fallunterscheidung: x+1 <0 und x-1 <0

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ME. Genügen 3 Fälle:

Falls x> 1, sind x+1 und x-1 > 0

 | x+1 | - |x - 1 | = 1

x+1 - (x-1) = 1

2 = 1. Keine Lösung im Bereich x>1.

Falls -1 < x<1 , gilt x+1 > 0 und x-1 <0

 | x+1 | - |x - 1 | = 1

x+1 - (1-x) = 1

2x = 1. x=1/2 liegt im gewählten Bereich und ist daher Lösung der Gleichung

Falls x<-1, gilt x+1 < 0 und x-1 <0

 | x+1 | - |x - 1 | = 1

-(x+1) - (1-x) = 1

-x -1 -1 + x = 1

-2 = 1. Keine Lösung im Bereich x< -1.

Zusammenfassung

L = {1/2 }