Wie vereinfache ich diese Wurzel? ⁴√(4) ³√2

Question

Ich soll eine Wurzel vereinfachen, welche lautet:

⁴√4 ³√2

Da es vielleicht schwerer erkennbar ist, es ist die vierte Wurzel aus vier der dritten Wurzel aus zwei, also eine Wurzel in der Wurzel.

Laut Lösung kommt heraus ¹²√2^7.

Die 12 weiß ich zu bestimmen, jedoch nicht die 2^7.

Ich danke schon mal für jede Hilfe im Voraus!

Answer 1

Hallo ! :)

Wurzelterme in Potenzschreibweise umschrieben
Weisst du, wie man Wurzelterme als Potenzausdruck umschreibt und umgekehrt?

Zum Beispiel:  

\( \sqrt[2]{x} = {x}^{1/2}\)

oder so: 

\( \sqrt[5]{x} = {x}^{1/5}\)

Und so, wenn unter der Wurzel zusätzlich eine Hochzahl (Exponent) steht:

\( \sqrt[5]{{x}^{2}} = {x}^{2/5}\)

Wenn du das verstanden hast, kannst du deine Aufgabe so umschreiben, 
ich habe dir zum Verständnis mal ein Bild hochgeladen, ich hoffe du kannst die Schritte nachvollziehen.

Comments

Ich habe noch nie so eine akkurate Handschrift gesehen. Wow!

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Du bist eine Granate!

Answer 2

$$ \sqrt[4\,]{4\cdot\sqrt[3\,]{2}} = \sqrt[4\,]{\sqrt[3\,]{2^6}\cdot\sqrt[3\,]{2}} = \sqrt[4\,]{\sqrt[3\,]{2^6\cdot2}} = \dots $$

Comments

Kannst Du die Rechnung zu Ende führen? Ich weiß nicht, wo du die 4 mit einem Schlag hingepackt hast.

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Es ist \(4=\sqrt[3\,]{2^6}\).

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So, ich habe noch die inneren Wurzeln zusammengefasst.

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Wie bist Du denn auf auf die 4 = ³√2⁶ gekommen? ^{Einfach aus dem Kopf?}

Answer 3

4^{1/4}·2^{1/3}

= (2^2)^{1/4}·2^{1/3}

= 2^{2/4}·2^{1/3}

= 2^{1/2}·2^{1/3}

= 2^{1/2 + 1/3}

= 2^{3/6 + 2/6}

= 2^{5/6}

= ⁶√32

Comments

Ach Sorry. Lese jetzt erst Wurzel in der Wurzel.

(4·2^{1/3})^{1/4}

= 4^{1/4}·2^{1/12}

= (2^2)^{1/4}·2^{1/12}

= 2^{1/2}·2^{1/12}

= 2^{1/2 + 1/12}

= 2^{6/12 + 1/12}

= 2^{7/12}

= ¹²√(2^7)

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"Wurzel in der Wurzel"!

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Das ist mir komplett zu hoch. Den Beginn kann ich nachvollziehen, jedoch nicht den dritten schritt?

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Meinst du:

(2^2)^{1/4}·2^{1/12} = 2^{1/2}·2^{1/12}

(2^2)^{1/4}

= 2^{2 * 1/4}

= 2^{2/4}

= 2^{1/2}

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Oh ja, danke. Den schritt habe ich jetzt verstanden :)