Äquivalenzrelation beweisen

Question

ich soll bei einer Relation beweisen, dass es ich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Die Relation lautet: {x,y) Element von Z x Z | 3 teilt (2x + y)}

Das es eine Äquivalenzrelation ist, habe ich rausgefunden, da es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das Allgemeingültig beweisen könnte.

Ich hatte das nun so aufgeschrieben, sind für mich aber noch keine richtigen Beweise.

Reflexiv weil 3 | 2x + x

symmetrisch weil: 3 | 2x + y und 3 | 2y + x

transitiv: wenn 3 | 2x + y und 3 | 2y + z dann muss auch 3 | 2x + z

Vielleicht kann mir da ja jemand etwas helfen?

Comments

Symmetrie vielleicht so: Für alle x,y ∈ ℤ gilt 3(x + y) ∈ 3ℤ, also (2x + y) + (2y + x) ∈ 3ℤ.
Falls nun 2x + y ∈ 3ℤ ist, dann muss auch 2y + x ∈ 3ℤ sein.

Answer 1

Reflexiv weil 3 | 2x + x. Etwas ausführlicher:

Für alle (x,x) ∈ ZxZ gilt  (x,x) ∈ R, weil 2x+x = 3x , also

3 | 2x + x.

symmetrisch weil: 3 | 2x + y und 3 | 2y + x besser wohl

wenn (x,y)  ∈ R  dann gilt 3 | 2x+y.

2y + x  = (3y + 3x) - (2x + y )   ist

eine Differenz zweier durch 3 teilbarer Zahlen, also

selber auch durch 3 teilbar.

transitiv: wenn 3 | 2x + y und 3 | 2y + z dann

3 |  (2x+y) + (2y+z )  also auch

3 |  (2x+y) + (2y+z )  - 3y

also  3 | 2x + z

Comments

Danke, ich muss mir das glaub ich noch paar mal durchlesen, aber dann scheint es verständlich zu sein.

Weißt du vielleicht auch noch, was dann die Äquivalenzklassen dieser Relation sind?

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Für die Äquivalenzklassen bei dieser Relation musst du nur überlegen, was bei der

Überprüfung der Relationseigenschaft passieren kann:

2x+y  ist entweder durch 3 teilbar oder eben um 1 oder um 2 zu groß.

Und alle, bei denen es etwa um 1 zu groß ist, liegen in der

gleichen Klasse; denn sie unterscheiden sich nur um ein Paar,

das zur Relation gehört.

Es gibt also etwa die Klasse derjenigen, bei denen 2x+y durch 3 teilbar ist,

etwa repräsentiert durch das Paar  (1;1) .

Dann  die Klasse derjenigen, bei denen 2x+y beim Teilen durch 3 den Rest 1 lässt,
etwa repräsentiert durch das Paar  (1;2) .

Dann  die Klasse derjenigen, bei denen 2x+y beim Teilen durch 3 den Rest 2 lässt, etwa repräsentiert durch das Paar  (1;3) .  

Answer 2

  Zunächst mal. Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen   "  Hochpunkt  "  statt Maximum.  Ich kann es auch;  es heißt nicht  "  Äquivalenzrelation  "  , sonder n  "  Gleicheitsbeziehung  "

      x  (  =  )  y  :    2  x  +  y  =  0  mod  3     |   -  3  x      (   1a  )

                                 y  -  x  =  0  mod  3  ===>  y  =  x  mod  3       (  1b  )

     Ich führe die ganze Chose also zurück auf eine Abbildung  |Z  ===>  F3  ;  jetzt sollte es klar sein.  Denn

         0  ;  +/-  1     (  2  )

      sind genau die Klassen dieser Partition.