Beweisen, dass eine Äquivalenzrelation definiert ist

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass auf ℝ2 durch

(x₁,y₁) ∼ (x₂,y₂) ⇔ x₁ · y₁ = x₂ · y₂

eine Äquivalenzrelation definiert ist.

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man bei so einer Aufgabe, dass eine Äquivalenzrelation definiert ist? Bzw. gibt es eine bestimmte Reihenfolge wie man beweist, dass eine Äquivalenzrelation definiert ist?

Answer 1

Hallo

man sieht die 3 Bedingungen nach, meist fängt man Reflexiv an, dann Symmetrie und dann Transitivität, Aber jede Reihenfolge ist eigentlich gleich gut.

Gruss lul

Comments

Wie kann man das als formellen Beweis aufstellen?

Also ich weiß, dass man zeigen muss, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, aber wie genau geht man da vor?

Also z.b. bei der Reflexivität muss man ja dann zeigen, dass x₁* y₁ ~ x₂ * y_2.

Bei der Symmetrie, dass wenn x₁* y₁ ~ x₂ * y₂, es auch x₂ * y₂ ~ x₁* y₁ ist.

Bei der Transitivität wüsste ich dann nicht wie man das darstellen soll?

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Hallo

Reflexivität hast du falsch ; (x1,y1)~(x1,y1 )weil x1y1=x1y1

Symmetrie  wieder mit durch  die Def , also dem Produkt zeigen

Transitiv : (x1,y1)~(x2,y2)  also x1y1=x2y2 und (x2,y2)~(x3,x3) also x2y2=x3y3  damit x1y1=x3y3 also auch (x1,y1)~(x3,y3)

so einfach, man muss wirklich nur immer wieder die  gegebene Def des  ~ benutzen.

Gruß lul