Wie diese Quadratische Ergänzung machen?

Question

ich habe leider ein paar Probleme mit den quadratischen Ergänzung. Wenn ich die quadratische Ergänzung bei einem Term wie 12•x+17+2•x² durchführen soll, dann ist das kein Problem aber verstehen tue ich es nicht bei Termen wie zum Beispiel: x² = 8•x -1. Die Lösung lautet bei dem Term übrigens wie folgt: x² = 8•x-1 ⇔ x² -8•x+1=0 ⇔ x² -8•x+16=15 ⇔ (x-4)² = 15 ⇒ L={4-√15;4+√15). Besonders beim farblich markierten Schritt steige ich nicht durch. Was muss man machten wenn bei den beiden Termen ein Gleichheitszeichen davor steht? Die Beispiele die ich im Internet zur quadratischen gefunden haben sahen meistens so aus: 12•x+17+2•x² Ich hoffe man versteht was für ein Problem ich mit der Aufgabe habe. Hier mal noch ein Beispiel was ich nicht verstehe und was so ähnlich wie das farblich markierte Beispiel ist:

    x² -6•x+18=-x² +6•x

⇔ 2•x² -12•x+18 = 0

⇔ x² -6•x+9=0

⇔ (x-3)² = 0

⇒ L={3}

Elektrochemie

PS: Es geht mir hauptsächlich um den zweiten Rechenschritt also was man machen muss bei dem anfänglich gegebenem Term ein Gleichheitszeichen steht und wie man diesen Term umformt, damit man dann wie gewohnt die quadratische Ergänzung durchführen kann. 

Answer 1

Hallo EC,

Besonders beim farblich markierten Schritt steige ich nicht durch. Was muss man machen, wenn bei den beiden Termen ein Gleichheitszeichen davor steht?

Du sollst eine quadratische  Gleichung lösen:

x² = 8x - 1   | - 8x            [ alle Glieder mit x nach links,  reine Zahlen ggf. nach rechts ]

x² - 8x   = - 1   | + 4²

denn die quadratische Ergänzung links ist 4² ( = halber Faktor bei x zum Quadrat)

x² - 8x + 4²  = -1 + 16

x² - 8x  + 4² = 15   | links 2. binomische Formel anwenden

(x - 4)² = 15

x - 4 = ±√15

x  = 4 ± √15

Gruß Wolfgang

Comments

Mir ist gerade noch was aufgefallen wieso muss man eigentlich nach der ersten Umformung schon die Ergänzung durchführen? Bei dem Beispiel was ich gefunden habe lautet die offizielle Lösung nämlich so:
    x2 = 8·x - 1 | -8·x | +1
⇔ x2 - 8·x+1 = 0 |+42    #Erst nachdem man alles auf die linke Seite brachte wurde umgeformt. Du hast aber die Ergänzung einen Schritt früher durchgeführt. Warum?                                                
⇔ x2 - 2·x·4 + 42 -42 +1  #Meine Rechnung, wenn man die Ergänzung einen Schritt später durchführt.              
⇔ (x2 -2·x·4 +42 ) -42 +1

⇔ (x - 4)² -15  #Wie komme ich dann auf +15? Was hab ich übersehen?

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Wolfgang hat die Sache sinnvoll abgekürzt, denn warum soll ich erst alles auf die linke Seite bringen, wenn ich nachher die Summanden ohne x² und x wieder auf die rechte Seite "transportiere"?

Deine Rechnung wäre:

$$ \begin{aligned}x^2-8x+1&=0 &|\text{quadratische Ergänzung}\\x^2+8x+4^2-4^2-1&=0\\(x-4)^2-16+1&=0\\(x-4)^2-15&=0&|+15\\(x-4)^2&=15&|\sqrt{}\\x-4&=\pm \sqrt{15}\\x&=4\pm\sqrt{15} \end{aligned}  $$

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Hallo Silvia,

2 Tippfehler zweite Rechenzeile

x² - 8x  +4² - 4² + 1 = 0

Ansonsten habe ich deinen Ausführungen nicht hinzufügen :-)

Gruß Wolfgang

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Danke, jetzt sollte es gehen aber ich war etwas verwirrt, weil der letzten Schritt nämlich nochmal +15 zu rechnen bei den Beispielaufgaben die ich auf Youtube gesehen habe nie durchgeführt wurde.(Würde ja was verlinken aber bin mir nicht sicher ob das erlaubt ist). Habe jetzt noch 2 weitere Übungsaufgaben gemacht und wäre mega nett, wenn jemand kurz drüber schauen kann, um zu gucken ob alles richtig ist.

     1.) x² = 2·x + 2 + 2·x²   | -x²

⇔ 0 = 2·x + 2 + x²        | Umordnen 

⇔ x² + 2·x + 2 = 0

⇔ x² + 2·x + 1-1 +2 = 0

⇔ (x + 1)² -1 + 2 = 0 

⇔ (x + 1)² + 1 = 0           | -1

⇔ (x + 1)² = -1

⇒ L = {}  

      2.) 2·x² -8·x + 6 = 0   |÷2

⇔  x² - 4·x + 3 = 0

⇔ x² - 4·x + 2² - 2² + 3 = 0

⇔ (x - 2)² - 4 + 3 = 0

⇔ (x - 2)² - 1 = 0             |+1

⇔ (x - 2)² = 1                  |√

⇔ √(x - 2)² = √1              |#Wurzelgesetz benützen: √a² =  | a | (Soll btw Betrag sein)

⇔  | x - 2 | = 1                 |#Jetzt Betragsgleichung lösen mit Definition des Betrages:  | a | = a, wenn (a ≥ 0) und  | a | = - a, wenn (a < 0)

1.) x - 2 ≥ 0:               2.) x - 2 < 0:

     x - 2 = 1    | +2         -(x - 2) = 1    |•(-1)

         x = 3                     x - 2 = - 1      |+2

                                           x = 1

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Das ist soweit richtig. Beim Auflösen der reinquadratischen Gleichung würde ich aber nicht auf den Betrag zurückgreifen, das ist unnötig umständlich. Einfacher geht es so:

⇔ (x - 2)^2 = 1   | ±√

⇔ x - 2 = -1   oder   x - 2 = +1

⇔ x = 1  oder  x = 3

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Hi Wolfgang, du hast natürlich recht, aber ich kann nachträglich nichts mehr ändern. Aber offenbar hat EC jetzt den Bogen raus.

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Danke nochmal an alle die geholfen haben.

Answer 2

x^2 - 6·x + 18 = - x^2 + 6·x

Zunächst bringst du alles auf die linke Seite. d.h. +x^2 - 6x

2·x^2 - 12·x + 18 = 0

Jetzt durch 2 teilen

x^2 - 6·x + 9 = 0

Jetzt sieht man die 2. binomische Formel

(x - 3)^2 = 0

Also zu Anfang musst du es in die allgemeine Form

ax^2 + bx + c = 0

bringen. Dazu wird der Term der rechten Seite von beiden Seiten subtrahiert. Mehr ist das nicht.

Comments

x^2 = 8·x - 1

Also auch hier den Term der rechten Seite mit - (8·x - 1) von beiden Seiten subtrahieren.

x^2 - 8·x + 1 = 0

Dann weitermachen wie bekannt.

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Kann man das auch so machen?

     x² = 8•x-1  | -8•x

⇔ x² -8•x= -1  | +1

⇔ x² -8•x+1 = 0

Und übrigens: Ich hab nochmal ein paar Übungen gemacht und diesmal auch alles richtig gehabt. 

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Hm, man kann also nicht beide Antworten auszeichnen.

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Ja. Du kannst das auch einzeln machen.

Prima, dass du es verstanden hast.

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@Gast az0815 Ok, den kürzeren Weg zur Auflösung von reinquadratischen Gleichungen werde ich mir merken.

EDIT: Hab den Kommentar aus Versehen in die falsche Kommentarsektion geschrieben.