Beweise: Positivität überträgt sich bei stetigen Funktionen von einer Stelle auf eine ganze Umgebung der Stelle

Question

Hey zusammen!

DIesmal geht es um das Beweisen bei mir :

Hierfür lautet die Lösung:

.

...womit ich leider nicht schlau werde.. :/

Gibt es eine einfachere Möglichkeit die obere Aussage zu beweisen? Ich verstehe das Epsilon-Delta-Kriterium, allerdings weiß ich nicht was überhaupt mit f(-e,e) c (0, inf) gezeigt werden soll :(

Comments

\(f((-\varepsilon,\varepsilon))\subset(0,\infty)\) heisst, dass die Funktion in einer ganzen \(\varepsilon\)-Umgebung von \(0\) positiv ist, wenn \(f(0)\) positiv ist. Die Funktion springt also nicht ploetzlich auf \(0\) oder gar drunter, was eine stetige Funktion ja auch nicht tun soll. Das soll bewiesen werden, z.B. mit dem \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium. (Aber ganz bestimmt nicht das Kriterium selber: Dein Betreff ist Quark.)

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EDIT: Habe gerade angefangen die Überschrift zu redigieren ;) D.h. mal "Sei f stetig" ergänzt und "mit" geschrieben. Die Überschrift passt aber immer noch nicht richtig :(.

Leider zu spät gesehen, dass fakename schon kommentiert hat. @fakename: Willst du die Überschrift und die Tags noch fertig verbessern?

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Ok, hab mich mal verkuenstelt. Die Aufgabe selber (mit Lösungen) gab es hier schon x-mal. Natuerlich findet man die nicht mit der Suche und das wird dieses Mal auch nicht anders sein.

Answer 1

Kommt zwar schon mal vor, aber die Antwort ist ja kurz. Also nochmal:

Sei f : R --> R stetig und f(0) = a  > 0 .

Dann gibt es zu ε = a/2 ein δ>0 mit

| x - 0 | < δ ==>  | f(x) - f(0) | < ε = a/2

                   <=>   | f(x) - a | < ε = a/2

              <=>  -a / 2 < f(x) - a < a/2

            <=>  a/2 < f(x) < 3a/2

Und mit a sind auch a/2 und 3a/2 positiv, also

liegen alle f(x) in R⁺ .  Das in der Behauptung als

existent geforderte ε ist also z.B.  a/2.  Denn

| x - 0 | < a/2 heißt ja nicht anderes als x ∈ ( -a/2 ; a/2 ).

Comments

Das in der Behauptung als

existent geforderte ε ist also z.B.  a/2.  Denn

| x - 0 | < a/2 heißt ja nicht anderes als x ∈ ( -a/2 ; a/2 ).

Da hast du dich glaub vertan. Das in der Aufgabe geforderte ε ist in deinem Beweis doch das δ :)

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Richtig, da hab ich mich vertan.

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Oh wie wundervoll, ich habs verstanden :D ε ist deswegen a/2 weil es ja die Umgebung um a ausmacht, oder? (womit -ε auch a/2 wäre...) Und dürfte ich fragen wo genau du dich in deiner Lösung vertan hast? Weil in meinen Vorlesungen wird es auch so x - 0 | < δ ==>  | f(x) - f(0) | < ε = a/2 geschrieben :s.

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Ah habs gefunden und verstanden, perfekt :D

Vielen Dank nochmal!! :)

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Ich hege Zweifel daran, dass Du die Sache verstanden hast. Um das zu testen, kannst Du versuchen:

- Den Fehler in der Antwort zu korrigieren.

- Einen alternativen Beweis mit dem Folgenkriterium zu finden.

- Die Aussage zu verallgemeinern: Was ist, wenn \(f(\xi)>\eta\) statt \(f(0)>0\) gilt? Muss \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig sein oder geht's mit weniger? Welche anderen Relationszeichen statt \(>\) ergeben analoge Aussagen?

- Eine entsprechende Aussage für Grenzwerte zu formulieren: Es existiere \(\lim_{x\to\xi}f(x)\) und es gelte \(\lim_{x\to\xi}f(x)>\eta\). Was dann?

Answer 2

was überhaupt mit f(-e,e) c (0, inf) gezeigt werden soll

Es soll gezeigt werden, dass das Bild des offenen Intervalls (-ε, ε) unter der Abbildung f Teilmenge des offenen Intervalls (0, ∞) ist.

(-ε, ε) ist eine Umgebung um 0.

(0, ∞) ist die Menge der Positiven Zahlen.

Mit anderen Worten soll also gezeigt werden, dass es eine Umgebung um 0 gibt, in der alle Funtkionswerte positiv sind.