Logarithmus mit Bruch umformen

Question

Folgende Umformung eines Logarithmus verstehe ich nicht ganz:

$$ \log _{ \frac { 1 }{ 27 }  }{ (3 } )\quad =\quad x\quad \Longrightarrow \quad \frac { \log { (3) }  }{ \log { (\frac { 1 }{ 27 } ) }  } \quad =\quad x\quad ...$$

Warum kann man das einfach so umformen? Steht grad auf dem Schlauch...

Answer 1

Hier kommt folgendes Logarithmusgesetz zum Einsatz:$$ \log_{a}{x}=\frac{\log_{b}{x}}{\log_{b}{a}} $$ Hierbei verändert sich die Basis (a) des Logarithmus zu "e" [im Beispiel als "b"], der Eulerschen Zahl. Das nennt man auch denn logarithmus naturalis.

Comments

Also die Aufgabe habe ich von serlo.org:

https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/exponentialgleichungen-logarithmische-gleichungen/aufgaben-exponential-logarithmusgleichungen

Aufgabe 1d.

Da steckt dann dort aber ein Fehler oder? Denn im Lösungsweg ist kein Basiswechsel gemacht worden, da wird ja einfach mit dem 10er-Logarithmus weitergemacht. Denke das ist wohl ein 'Bug'.

Und deshalb habe ich wohl nicht erkannt, warum die Umformung zulässig ist.

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Hallo integral,

$$\left(\frac13\right)^x\cdot\left(\frac3{27}\right)^x=3$$$$(\frac1{27})^x=3$$Ich denke, dass du bei diesem Schritt Schwierigkeiten hast?$$\frac{\log\left(3\right)}{\log\left({\displaystyle\frac1{27}}\right)}=x$$ Dort ist die Basis wieder die Eulersche Zahl. Oder was meinst du?

Gib das mal in deinen Taschenrechner ein mit der Basis e, du wirst auf -(1/3) kommen, das ist auch die Lösung der Aufgabe.

Answer 2

(1/27)^x= 3

(3^{-3})^x = 3

3^{-3x} = 3^1

-3x = 1

x = -1/3

Answer 3

Das ist möglich aufgrund der Logarithmengesetze. Schau mal hier:

https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus#gesetze

Answer 4

Die angegebene Umformung ist eigentlich nur für Taschenrechnerfanatiker nötig, weil 3^3 = 27. Dieses Wissen kannst du nutzen und so rechnen, wie Gast2016 es gemacht hat. Die Definition des Logarithmus genügt. Du brauchst hier gar keine Logarithmengesetze.

Nun zur Formel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Basisumrechnung

Eine Herleitung der Umrechnungsformel findest du hier http://www.arndt-bruenner.de/mathe/pdf/logarithmengesetze1.pdf unter Basiswechsel.

Comments

Die Umformung mag unnötig sein, aber mir ging es ja nicht um das Ergebnis, sondern darum, warum die Umformung korrekt ist.

Hier hat mich wohl die Basis 1/27 etwas irritiert, deshalb hab ich wohl den Basiswechsel nicht erkannt.

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Gut, dass du gefragt hast. Dann weisst du jetzt etwas mehr.

Answer 5

  Sieh's doch so. alle Logaritmensysteme sind proportional.

       log_a  ( x )               log_b ( x )

     ----------------      =    --------------------         (  1  )

      log_a ( y )                 log_b  ( y )

         Warum?   Geh aus von der Gleichung

      a  ^  x  =  b    |   log       (  2a  )

      Mit einer Gleichung kann ich machen, was ich will, so lange ich es nur auf beiden Seiten mache. Auch logaritmieren ( zur selben Basis )  Dann findest du in ( 2a ) die Lösung

                    log_c ( b )

     x  =     -------------------------            (  2b  )

                   log_c ( a )

    

    Das  x , das da raus kommt, muss doch  immer das selbe sein unabhängig von der Basis c .  Daraus folgt, dass die rechte Seite unabhängig sein muss von c .  Dann gilt aber auch

         log_c ( b )                    log_a ( b )

      ----------------------    =    ---------------------      (  3a  )

         log_c ( a )                    log_a  ( a )

      Nun ist aber  log_a ( a ) = 1  und damit

        log_c ( b )                   

      ----------------------    =     log_a ( b )         (  3b  )

        log_c ( a )