Entwicklung der reellen Fourierreihe von f(x) = x^2 + x ; (-π ≤ x ≤ π)

Question

N'abend,

Geben sie die reelle Fourierreihe der Funktion: f(x) = x² + x ;   (-π ≤ x ≤ π)

Für die Koeffizienten habe ich jeweils für a_o  = 2π² /3 + π

a_n = 4/n²

b_n = 2(π+1)/n 

Kann mir einer sagen, ob ich die Koeffizienten richtig berechnet habe und gibt es eigentlich eine Methode der Selbstüberprüfung?

Liebe Grüße :)

Answer 1

Hallo Cleopatra,$$F(x) = \frac { a_0 }{ 2 }+\sum\limits_{k=1}^{∞} \text{ }[ a_k·cos(kωx)+b_k·sin(kωx)]$$$$a_0=\frac { 2 }{ T }·\int_{a}^{b} \! f(x) \, dx$$$$a_k=\frac { 2 }{ T }·\int_{a}^{b} \! f(x)·cos(kωx) \, dx$$$$b_k=\frac { 2 }{ T }·\int_{a}^{b} \! f(x)·sin(kωx) \, dx$$Bei dir mit  [a,b] = [-π,π]   →  T = 2π   →   ω = 2π/T = 1   erhalte ich 

$$F(x) = \frac { a_0 }{ 2 }+\sum\limits_{k=1}^{∞} \text{ }[ a_k·cos(kx)+b_k·sin(kx)]$$$$a_0=\frac { 1 }{ π }·\int_{-π}^{π} \! (x^2+x) \, dx= \frac { 2π^2 }{ 3 }$$$$a_k=\frac { 1 }{ π }·\int_{-π}^{π} \! (x^2+x)·cos(kx) \, dx=\frac { 4·cos(k·π) }{ k^2 }$$$$b_k=\frac { 1 }{ π }·\int_{-π}^{π} \! (x^2+x)·sin(kx) \, dx=\frac {-2·cos(k·π) }{ k }$$mit cos(k·π) = 1 für gerade k , -1 für ungerade k

Gruß Wolfgang

Comments

Ok, den Fehler bei a_o habe ich bei mir auch gefunden, hatte nen Vorzeichenfehler (-)²  ergibt ja +, a_k  habe ich auch so wie du, allerdings ausgeschrieben, sprich ohne das cos(k*π), oder liege ich verkehrt? Und bei b_k muss ich nochmal sorgfältig über meine Rechnung gucken, um nachzuvollziehen, was ich da falsch gemacht habe. Aber vielen lieben Dank für deine Hilfe :)

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Oh bei bk habe ich genau denselben fehler gemacht, wie bei ao, top danke dir nochmal :)

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ohne das cos(k*π)  geht nicht wegen

cos(k·π) = ±1 . Das erklärt schon den Unterschied bei a_k  

Und bei der partiellen Integration schleichen sich auch leicht Fehler ein

Wenn du die gleichen Formeln benutzt hast, sollten aber diese Ergebnisse rauskommen, sagt mein Rechner :-)

Und: immer wieder gern :-)