Potenzgesetze
Das Ergebnis, wenn man etwas potenziert, nennt man Potenz. Das Wort Potenz kommt von dem lateinischen Wort "potentia", was man mit "Macht" übersetzen kann.
Vermutung: Daraus ist dann auch der Begriff aus dem Englischen entstanden, nämlich "to the power of" (andere Ideen würden mich interessieren)
Potenzieren ist eine Art Zusammenfassung wie das Multiplizieren, nur, dass beim Multiplizieren Summanden eine bestimmte Anzahl miteinander addiert werden und beim Potenzieren werden Faktoren eine bestimme Anzahl oft miteinander multipliziert.
Bsp.: 23=2·2·2=8
Die Gesetze mit Herleitung
1. Gesetz $$ {a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{m+n} $$
Herleitung:
$$\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot \color{red} a \color{red}. \color{red}. \color{red}. \color{red} \cdot \color{red} a → \text{m mal a}\\ \color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a \color{green} .\color{green} .\color{green} . \color{green} \cdot\color{green} a → \text{n mal a} $$
Das multipliziert man jetzt miteinander und dann sieht man, dass sich die Anzahl der "a´s" addiert. $$(\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a\color{red} \cdot\color{red} a \color{red} .\color{red} .\color{red}. \color{red} \cdot\color{red} a)\cdot (\color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a\color{green} \cdot\color{green} a \color{green} .\color{green} .\color{green}. \color{green} \cdot\color{green} a)\\ \qquad\quad \text{m}\qquad \quad +\qquad \text{n}$$
Das ist die Herleitung kurz gefasst und es ergibt: $$\underline{\underline{\boldsymbol{{a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{m+n}}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]3^5\cdot 3^6\\[10pt](\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3 )\cdot (\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} )\\[10pt]{3}^{\color{red} 5+\color{green}6}\\[10pt]{3}^{11}=177147$$
2. Gesetz $$\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}$$
Herleitung
Wieder die Überlegung von oben
$$\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a \color{red} \cdot\color{red} a\color{red} \cdot\color{red} a \color{red} .\color{red} .\color{red}. \color{red} \cdot\color{red} a=>\text{m mal a}\\\color{green} a \color{green} \cdot\color{green} a\color{green} \cdot\color{green} a \color{green} .\color{green} .\color{green}. \color{green} \cdot\color{green} a=>\text{n mal a} $$
Jetzt dividiert man diese beiden Produkte miteinander und man sieht, dass man ganz viele "a´s" kürzen kann und es bleibt die Differenz stehen. wenn der Nenner mehr "a´s" hat, dann ist die Differenz negativ.
$$\\\frac{\color{red} a \color{red} \cdot \color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}}\color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{red} .\color{red} .\color{red}. \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{a}}}{\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}}\color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}} \color{green} .\color{green} .\color{green}. \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{a}}}$$Übrig bleibt jetzt noch die Differenz
Es ergibt sich also: $$\underline{\underline{\boldsymbol{\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]\\\frac{3^5}{3^6}\\[10pt]\frac{\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3\color{red} \cdot\color{red} 3}{\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3\color{green} \cdot\color{green} 3}\\[10pt]\frac{\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot\color{red}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{red} \cdot}{\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}{\cancel{horizontalstrike}{3}} \color{green} \cdot\color{green}3}\\[10pt]\frac{\color{red}1}{\color{green}3}\\[10pt]{3}^{-1}$$
3.Gesetz$$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$Herleitung$$\frac{\color{red} a\color{red}\cdot\color{red} a\color{red}\cdot\color{red} a\color{red}\cdot\color{red} a\color{red}.\color{red}.\color{red}.\color{red} a}{\color{green}b\color{green}\cdot\color{green} b\color{green}\cdot\color{green} b\color{green}\cdot\color{green} b\color{green}.\color{green}.\color{green}.\color{green} b}$$
Das kann man jetzt alles so aufteilen und erkennt dann, dass sich gewisse Faktoren wiederholen und somit n daraus entsteht, wie oft es diesen Faktor gibt:$$\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot\frac{\color{red}a}{\color{green}b}\cdot...\frac{\color{red}a}{\color{green}b}$$
Nun sind wir wieder bei dem Ergebnis:$$\underline{\underline{\boldsymbol{\left(\frac{a}{b}\right)^n}}}\\[25pt]\text{Bsp.:}\\[10pt]\frac{2^5}{4^5}\\[10pt]\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\\[10pt]\left(\frac{\color{red}2}{\color{green}4}\right)^5\\[10pt]\frac{1}{32}$$
Das waren die ersten 3 Gesetze der Potenzrechnung. Es gibt natürlich noch mehr, aber das reicht meiner Meinung nach für einen Artikel erstmal.
Ich bitte in den Kommentaren um konstruktive Kritik, bezüglich der Inhalte und des Schreibstils.
