Fourierreihe einer Signum Funktion

Question

Halli

Ich stehe bei folgender Aufgabe total auf dem Schlauch:

Aufgabenstellung:

Entwickeln sie die Foruierreihe der Signum-Funktion: 

                        { 1 : x > 0 }

f(x)= sign(x) =  { 0 : x = 0 }                -π ≤ x ≤ π                       

                        { -1 : x < 0 }

Könnte mir irgendjemand mit einem Lösungsansatz helfen, ich weiß ja nicht, ob mein Ansatz richtig wäre, aber müsste man nicht einfach um beispielsweise den Koeffizienten a_o  zu berechnen die Signum Funktion mit den Grenzwerten -π und π integrieren?

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo

1. wenn du es aufzeichnest, siehst du, dass es eine ungerade Funktion ist. also musst du nur die sin- Terme finden, a_0 hast du richtig =0. Das Integral musst du unterteilen in das von -\pi bis 0 und von 0 bis \pi,  was abr wegen des Vorzeichens von f(x) einfach zur Verdoppelung führt. Die Integrale sind ja besonders einfach, weil f(x) ja einfach nur -1 bzw. +1 ist also musst du nur sin(n*x) integrieren.

Gruß lul

Answer 2

Das sieht mir alles sehr nach Harder aus.

Also ich hatte es so gemacht, aber auf Richtigkeit kann ich nun kein Garant geben

Comments

Hallo

bisher ist alles richtig , aber du solltest cos(n*\pi) noch einsetzen, unterscheide dabei zwischen n gerade und ungerade also n=2m und n=2m+1 dann vereinfacht sich deine Reihe noch sehr.

Gruß lul

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@lul großes dankeschön dir für deinen ersten Beitrag, habe dadurch genau dasselbe herausbekommen, wie bei bachatero18, allerdings ohne diese Unterscheidung, die du in deinem Kommentar angemerkt hast. Habe mich des Öfteren schon gefragt, wie diese zustande kommt, worauf ich da genau achten muss, also ich weiß, dass cos(n*pi) umgeschrieben werden kann als (-1)^n, aber ich blicke nicht ganz durch, was es mit der ungeraden n und geraden n auf sicht hat

liebe Grüße :)

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cos(n*pi) =  (-1)ⁿ    =  1  für gerade n              [ z.B.  (-1)² = 1 ]

                                  -1  für ungerade n         [ z.B.  (-1)³ = - 1 ]

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oh man, darauf hätte man auch selbst kommen, können super super vielen lieben dank

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Hallo

 $$cos(2n*\pi)=1, \quad cos((2*n+1)*\pi)=-1$$

 damit  $$2-2*cos(n*\pi)=0$$ für n gerade und 4 für n ungerade. Du musst also nur über die ungeraden n summieren

du solltest nicht sign(x)=.. schreiben, sondern f(x) da das ja nicht die sign Funktion ist

 also $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{2n+1}*sin((2*n+1)*x)$$

Gruß lul

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top wusste ich gar nicht dass man cos(pi*n) noch umschreiben kann. Man lernt nie aus