Habe ich richtig faktorisiert? 16+9x^2-24x

Question

Hello,

Habe ich richtig faktorisiert?

16+9x^2-24x

=8x*(2+(9/8)x-3)

Answer 1

Hi Antooon,

erinnere Dich an den Tipp mit den Nullstellen suchen. "Siehst" Du keinen Ansatzpunkt, führt dies (zumindest bei Polynomen) zum Ziel ;).

16+9x^{2}-24x = 0

9x^2-24x+16 = 0    |:9, dann pq-Formel (*)

x_(1,2) = 4/3

Damit kann man nun die Linearfaktoren bestimmen

Führt zu:

16+9x^{2}-24x = 9(x-4/3)^2

Beachte, dass wir die 9 noch hinzunehmen müssen, da wir in (*) durch 9 dividiert haben ;).

(Man hätte natürlich die binomische Formel direkt erkennen können, aber das als Alternative)

Alles klar?

Grüße

Comments

Hochinteressant! Das werde ich gleich mal ausprobieren!

Aber Aufgaben wie:

7xy+45-9y-35x

puuuuh, da komm ich ins schwitzen und niemals auf:

(y-5)(7x-9)

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x²+16x+64

x1,2=-8±0

x1= -8

In der Klammer heißt es jetzt aber (x+8)² statt Minus. Ist das pflicht? Funktioniert das bei Termen in quadratischer Form immer?

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Da funktioniert das tatsächlich nicht in der Einfachheit. Hier bietet es sich an bspw das "Absolutglied" (hier die 45, also unabhängig von y und x) anzuschauen.

45 hat die Teiler 3,5,9,15, sowie natürlich 1 und 45. Spickelt man beim Rest, kommt man schnell auf 5 und 9. Das beide negativ sind, ergibt sich daher, dass das "Absolutglied", sowie 7xy positiv ist, die anderen beiden Summanden aber negativ sind.

Der Rest ist dann nur noch ein "Koeffizientenvergleich", falls Dir der Begriff geläufig ist.

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Du findest ja die Nullstellen, also bspw x_(1) = a und x_(2) = b. Nun musst Du das schreiben als (x-a)(x-b), denn wenn Du jetzt x_(1) = a einsetzt, wird der erste Faktor 0. Deshalb, ja, werden die gefundenen Nullstellen immer "umgedreht" und eingesetzt. Das ist unabhängig davon, aber der Ausgangsterm/funktion quadratisch, kubisch oder linear ist^^.

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x_(1) = -a    ----->  (x-(-a))^2  ---> (x+a)^2

Wenn die Nullstelle jetzt positiv wäre:

x_(1)=a  → (x-a)^2

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Yup sehr gut! :)

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Schön, schön. Das werde ich so in mein Heft übernehmen.

Es wird doch bestimmt auch funktionieren bei sowas:

-64+b²   | neu sortieren

b^2-64=0

b1,2=-0/2±√((0/2)²+64)

b1,2=0±8

b1=8

b2=-8

(b+8)(b-8)   ---> passt!

Geil, das bringt mich bei manchen Aufgaben schonmal weiter!!

Dankeee!

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Das hilft zwar oft, doch solltest Du auch Dein Auge trainieren. Spätestens mit der Lösung, solltest Du noch einen zweiten Weg suchen. Hier bietet sich nämlich bspw der Binomi an.

b^2-64 = 0

b^2 - 8^2 = 0    |dritte binomische Formel

(b-8)(b+8) = 0

;)

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Trotzdem gut zu wissen, dass das funktioniert. Ich werde jetzt noch weiter üben.

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Würde das funktionieren?

48r^3-147ry^2

r*(48r^2-147y^2)

Klammer kann man mit 2. Binomischer Formel auflösen:

r*(√(48r^2)-√(147y^2))

r*((4√3)r-(7√3)y))^2

Ok, geht nicht, was mache ich denn falsch?

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Das sieht doch gar nicht so schlecht aus. Nur fehlen im letzten Schritt noch die Quadrate. Oder was hast Du da gemacht?

Dann an die dritte binomische Formel denken ;).

Ich würde da allerdings etwas anders rangehen. Ich zeig es Dir mal.

r*(48r^{2}-147y^{2})

Erkennen, dass 3 auch ein gemeinsamer Faktor ist:

3r * (16r^2 - 49y^2)

Nun ist klar, dass 16 und 49 Quadratzahlen sind:

3r * ((4r)^2 - (7y)^2)

Das ist die dritte binomische Formel

3r * (4r-7y) * (4r+7y)

Einverstanden? ;)

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Ahh, ich bin dumm! Ich habe mit der 2. Binomischen Formel gerechnet. Das Minus hat mich getäuscht. (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Muss ich erkennen, dass 3 ein gemeinsamer Teiler ist?

r*(48r^{2}-147y^{2})   | 3. Binomische Formel ≠ 2 Binomische Formel

r*(√(48r^2)-√(147y^2))((√(48r^2)+√(147y^2))

r*((4√3)r-(7√3)y)*((4√3)r-(7√3)y)

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Nein, das ist so auch richtig, aber unnötig kompliziert aufgeschrieben. Könnte mir sogar vorstellen, dass der ein oder andere Lehrer eine Anmerkung macht, weil nicht weit genug vereinfacht wurde.

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$$24a^2r^2+120ar+150$$

Den ersten Schritt mache ich immer gut. Ich suche nach (dem größten?) gemeinsamen Teiler:$$=6\left(4a^2r^2+20ar+25\right)$$ Jetzt muss ich mich damit abfinden, dass (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 auch darauf bezogen werden kann, warum auch immer.$$ 6\left(\sqrt[]{4a^2r^2}+\sqrt[]{25}\right)$$$$ 6(2ar+5)^2 $$ Ich glaube langsam, dass ich es verstehe

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Genau, das passt ;).

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Kleine Rückfrage:

25x^2-9

Da habe ich die Mitternachtsformel angewandt:

x1,2=(-0±√(0^2-4*25*(-9))/2

x1,2=±3.5

Habe das dann so geschrieben:

25(x+(3/5))(x-(3/5))

in der Lösung steht:

(5x-3)(5x+3)

Ist meine jetzt falsch oder richtig? oO

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Das Deinige passt. Wenn Du die 25 als 5*5 schreibst und je 5 in die Klammern reinziehst, kommst Du auf dasselbe. Finde Deins auch sehr schön, da man direkt die Nullstellen ablesen kann, würde da also nichts groß ändern.

Allerdings wäre es besser gewesen, wenn Du die binomische Formel erkannt hättest. Wie gesagt: Mitternachtsformel anzuwenden ist ja ganz gut, aber das geht hier deutlich schneller.

25x^2-9 = (5x)^2 - 3^2 = (5x-3)(5x+3)

;)

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Ich muss mich dann echt umgewöhnen, ich sehe nur noch Nullstellen! :P

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Ist das hier richtig gemacht? Also von der Notation: (im Heft ist es halt anders)

x^4+2x^2+1    | Erste Binomische Formel

=(√(x^4)+√1)^2

=(x^2+1)^2

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Yup, das ist richtig ;).

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Ich komme jetzt richtig gut klar. Ich hatte irgendwie eine Barriere die Binomischen Formeln anzuwenden. Ich habe viele Methoden entwickelt, z.B wenn was schräges rauskommt weiß ich, dass ich wahrscheinlich mehr ausmultiplizieren muss.

Ich werde dich jetzt nicht mehr stören, gute Nacht!

Answer 2

16+9x²-24x=9x²-24x+16=(3x-4)².

Comments

ist meins denn falsch? Oder einfach nur eine andere Art?

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Das Faktorisieren von Polynomen zielt auf sogenannte Linearfaktoren. Unabhängig davon würde auch ein Ausmultiplizieren deines Terms nicht das gewünschte Ergebnis zeigen.

Answer 3

16+9x^2-24x

Aber:
8x*(2+(9/8)x-3) = 16x + 9x^2 - 24x 

= 9x^2 - 8x

Dein:

16+9x^{2}-24x

=8x*(2+(9/8)x-3)

 stimmte somit nicht.

Comments

schade... okay

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Ich raff das nicht.

25a^2-9b^2+15a+9b

gar kein Plan. Ich wäre niemals auf (5a+3b)(5a-3b+3) gekommen

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25a^{2}-9b^{2}+15a+9b     | Anfang sieht nach 3. binomischer Formel aus.

                                              Hinten kannst du 3 ausklammern.

= (5a + 3b)(5a-3b) + (5a + 3b)*3        | (5a + 3b) ausklammern

= (5a + 3b)((5a - 3b) + 3)     | Innere Klammer auflösen

= (5a + 3b)(5a - 3b + 3)

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schade... okay

Ja. Schon. Du kannst zur Kontrolle jeweils die Klammern auflösen.

25a^{2}-9b^{2}+15a+9b

hat sich ja inzwischen erledigt .

Answer 4

  Dass eine Antwort, die hier ernstlich die Mitternachtsformel empfiehlt, als beste ausgezeichnet wird, ist beschämend.

     x  ²  -  p  x  +  q  =  0     (  1a  )

       p  = 8/3  ;  q  =  16/9     (  1b  )

     (  x  -  4/3  )  ²   : ein vollständiges Binom     (  1c  )

Comments

Ich wähle die Frage, die mir am meisten geholfen hat. Ich weiß, dass das nicht die feine englische Art ist. Aber es führen viele Wege nach Rom.

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  Zugegeben; ich wenn euer Lehrer wär.  Ich würde auch sagen

   " Macht was ihr wollt; aber macht's richtig. "

   Vielleicht bin ich ja zu sehr verliebt in meine Schmuddeltricks; am Meisten ärgere ich mich immer, wenn mir erst am nächsten Tag eine Abkürzung einfällt, auf die kein normaler Schüler kommt.

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Vielleicht bin ich ja zu sehr verliebt in meine Schmuddeltricks

Das kannst du wohl am lautesten sagen! Du löst ja fast keine Aufgabe ohne irgendwelche Schmuddeltricks.

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  Ja gut; bei Sudoku verstehst du das ja auch ohne Weiteres.  Ich entwickle hier schon eine besondere Art von Ehrgeiz.

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Deine Tricks sind zwar schön und gut, aber für mich wirkt es so als gäbe es für jede neue Aufgabe einen neuen Trick je nach Sachverhalt. Ich würde gerne erstmal alles auf dem "normalen" Weg verstehen und später mal auf irgendwelche Habakuk-Tricks zurückgreifen. Vielleicht guck ich mir deine Antworten wie z.B. beim Gleichungssystem irgendwann an und werde staunen!

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   Pass auf.   Nicht nur bei Sudoku. Sondern auch in den Illustrierten gibt es so Aufgaben mit seltsamen Hieroglyphen. Da steht dann

   " Jedes Symbol bedeutet eindeutig eine Ziffer oder ein Rechenzeichen wie Plus, Gleich oder geteilt durch. Man  soll das Rätsel so lösen, dass eine richtige Rechenaufgabe dabei heraus kommt. "

    Mehrheitlich wirst du nicht auf Zeitgenossen stoßen, die sich dafür einen teoretischen Algoritmus zu Recht gelegt haben ( Ich weiß übrigens gar nicht, ob es den gibt. ) Sondern Künstler, die ganz stolz sind auf ihre spontanen Eingebungen, die bei manchen Aufgaben vielleicht gar nicht mal so gut funktionieren.

     Die Kinder meiner Putzfrau waren ganz vernarrt in diese Pokemon Trickfilme ( Nur daher kenn ich das ja. ) Und da wird gezeigt, wie du  ( angeblich ) mit Schmuddeltricks Fußballtore erzielen kannst.

   Zugegeben; als Schüler war ich auch experimentierfreudig ( und bin es noch )   Da wollte ich auch erst mal sehen, wie man die ganzen Aufgaben korrekt löst.

    Aber mit der Erfahrung vom Studium, von drei Silvestern Mensa,  wuchs meine Kritikfähigkeit. Ja ist denn die Mitternachtsformel immer von Vorteil? Warum vermeiden so viele Unitexte Quadratwurzeln?  Und dann das, was du sagst:   In der Geometrie ist es doch auch normal, etwas zu sehen. Warum soll ich nicht ausnutzen, wenn mir z.B. die speziellen Parameter in einer Aufgabe einen Vorteil zuschanzen, den ich im Allgemeinen gar nicht hätte?

   Ich fordere euch geradezu auf, mich in meinen Schmuddeltricks zu übertrumpfen und - nebenbei gesagt -  ist dies einem der Moderatoren bei einer bestimmten Aufgabenklasse sogar mal gelungen ...

    Ihr Jugendliche beruft euch doch so gerne auf das " holistische "  , das ganzheitliche Denken. Weißt du, was der Schopenhauersche Mausefallenbeweis ist? Schopenhauer

   " Der Herr Lehrer will irgendwas beweisen. Und nur um seinen Satz beweisen zu können, malt er eine ganz bestimmte Linie in sein Dreieck. Kein Mensch braucht diese Linie;  und außerhalb dieses Beweises kommt sie auch nirgends vor.

   Nur weil ich dem Herrn Lehrer das Recht auf seine Linie nicht absprechen kann; weil die Existenz dieser völlig Sinn losen Linie gedeckt ist durch die formale Logik. Deshalb schnappt die Mausefalle zu; und der Satz ist bewiesen ... "

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Ich weiß nicht genau, was ich darauf antworten soll.

Zugegeben; als Schüler war ich auch experimentierfreudig ( und bin es noch )  Da wollte ich auch erst mal sehen, wie man die ganzen Aufgaben korrekt löst.

Ich lerne Themen immer, wie ich sie am leichtesten verstehe; nicht anhand der Schönheit oder Korrektheit des Weges

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  Was meinst du, was ich gemacht habe?  Nur seltsam; ich wuchs immer mehr in die Rolle von Zampano dem Superman hinein. Entweder weil ich Aufgabenstellungen oder Beweise vortrug, die mein Lehrer gar nicht kennen konnte, weil ich selber sie mir ausgedacht hatte.

   Oder ich hatte Anregungen aus Textbüchern aufgegriffen, die mein Lehrer niemals gelesen hatte ...