Beweis Ungleichung natürliche Zahlen

Question

Ich brauch mal eure Hilfe bei folgendem Beispiel.

a) beweisen Sie :  ∀ε>0 ∃Ν>0 ∀n>N: (1/n)<ε

b) verwenden Sie die Symbole ∃ und ∀ um den Sachverhalt " A(x) gilt für alle genügend großen natürlichen Zahlen n" auszudrücken.

Könnt ihr mir da irgendwie weiterhelfen?


lg

Answer 1

a)

Wähle ein beliebiges ε > 0 und setze N = 1 / ε
Dann gilt:

1 / n < ε

<=> 1 / ε < n

<=> N < n

Also: Für alle ε > 0 existiert ein N (nämlich N = 1 / ε ) sodass die Behauptung für alle n > N gilt.

b) ∃ K > 0 ∀x ∈ N > K : A ( x )

Comments

wieso kann ich N=1/ε setzen?

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Nun, es soll doch gezeigt werden, dass für jedes ε (mindestens) ein solches N existiert.

Wenn ich also zu jedem beliebigen ε irgendein N angeben kann, sodass die Behauptung gilt, dann ist sie bewiesen. Ich könnte jetzt also zu jedem ε versuchen, ein passendes N zu erraten. Das aber wäre Stochern im Nebel und das mag ich nicht so gern.

Also gebe ich explizit an, wie man ein solches N findet, wenn ε vorgegeben ist. Und dieses so gefundene N ist sogar das kleinstmögliche für das die Behauptung gilt, dass für alle n die größer als dieses N sind, der Wert von 1 / n jeweils kleiner als ε ist.

Beispiel:

Sei ε = 0,04

Dann setze ich N = 1 / ε = 25

Und dann gilt, dass für n > 25 gilt: 1 / n < ε = 0,04

1 / 26 = 0,038

1 / 27 = 0,037

1 / 28 = 0,036

usw.

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Der Einspruch ist allerdings vollkommen berechtigt:

Man kann nicht N= 1/ε setzen, da 1/ε keine natürliche Zahl sein muss.

Betrachte z.B. ε=1/π .


Sinnvoller ist

$$N:=\lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil$$, d.h. die kleinste natürliche Zahl größer (oder gleich) 1/ε .

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Man kann nicht N= 1/ε setzen, da 1/ε keine natürliche Zahl sein muss.

Das ist doch auch gar nicht gefordert. N muss keine natürliche Zahl sein. Indem ich N = 1 / ε setze, bestimme ich in Abhängigkeit von ε diejenige reelle Zahl (die auch, wie in meinem Beispiel, eine natürliche Zahl sein kann), für die gilt 1 / N = ε . Für alle Zahlen n (natürlich oder reell) mit n > N gilt dann 1 / n < ε. Ist man nur an natürlichen Zahlen n interessiert, dann nimmt man eben diejenige natürliche Zahl n, die größer als die Zahl N ist.

Wenn ich hingegen

$$N:=\lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil$$

setze, dann erfüllt bereits N die Behauptung 1 / N < ε und nicht erst n > N.