Infimum aus nichtleerer Teilmenge

Question

Hi,

Noch einmal eine zweite Frage ;)


Die Aufgabe ist so:

1. X,Y ⊂ ℝ micht leere Mengen;

2. ∀x∈X   ∃y∈Y : y < x.

Nun ist die Frage ob daraus folgt, dass 3. Inf(Y) < Inf(X). (Ich sollte es auch noch beweisen)


In Punkt 2 steht ja, dass es für jedes x ein y gibt welches kleiner als dieses ist.

Daher ist es für mich recht logisch, dass es stimmen muss.

Mir ist nicht ganz klar wie ich das beweisen kann ohne einfach zu schreiben, dass aus 2. halt 3. folgt.


MerciGraciasDanke

Answer 1

ein Spezialfall ist die gesamte linke Halbachse der reellen Zahlen. X und Y können dafür nahezu übereinstimmen:

\( X = \{x \in \mathbb{R}: x  \leq 0 \} \) und

\( Y = \{x \in \mathbb{R}: x  < 0 \} \).

Das Infimum dieser beiden Mengen stimmt über ein \( \inf(X) = \inf(Y) = -\infty \).

Deine Aussage gilt nur für nach unten beschränkte Teilmengen von \( \mathbb{R} \).

MfG

Mister

Comments

Hallo Mister

Danke für die Antwort.

Auf die Idee bin ich leider nicht gekommen.
Dies würde bedeuten, dass die Behauptung nicht stimmt, und dass man inf(x)=inf(y)= -∞ als Gegenbesipiel nehmen könnte!?

Lg

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Meiner Meinung nach schon. Die Frage ist, ob -∞ als uneigentliches Element der reellen Zahlen deren Ordnung "<" unterliegt. Fakt ist hingegen, dass für zwei Elemente der reellen Zahlen gilt, dass diese nicht zugleich gleich und ungleich sein können. Diese Eigenschaft muss man auch von den uneigentlichen Elementen +∞ und -∞ erwarten können. Insofern ist inf(X) = inf(Y) = -∞ ein Gegenbeispiel zu inf(X) < inf(Y), allerdings ein sehr spezielles.

Ein einfacheres Gegenspiel ergibt sich mittels der Mengen Y = [-2, 0) und X = (-2, 0], hier kann man auf uneigentliche Elemente verzichten, der Gedankengang bleibt hingegen derselbe: inf(Y) = inf(X), obwohl für alle x aus X ein y aus Y existiert, sodass y < x.

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Danke vielmals.

Eigentlich könnt man also auch generell sagen, dass Inf(X) < Inf(Y) nicht gilt wegen der Möglichkeit von;

Min(Y) < Min(X) aber gleichzeitig Inf(Y)=Inf(X) ?


Lg

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Das Minimum einer Menge ist nur ein spezielles Infimum, nämlich das Infimum einer Menge, das Teil dieser Menge ist.

Man kann sagen, dass sich zwei Mengen X und Y derart wählen lassen, dass min(Y) = inf(X) und min(Y) nicht zu X gehört.

Fordert man, dass X und Y abgeschlossen und beschränkt ("kompakt") sind, so gilt die Aussage übrigens: Dann lassen sich keine zwei Mengen X und Y finden, sodass inf(X) = inf(Y) und gleichzeitig für alle x in X gilt, dass y in Y existiert, sodass y < x. Dies liegt daran, dass dann inf(X) in X und inf(Y) in Y zum Rand ihrer Mengen gehören.