partielle Differenzierbarkeit

Question

Gegeben ist die Funktion

f(x,y) = xy/(x^2+y^2)  für (x,y) ≠ (0,0)

            0                    für (x,y) = (0,0)

 

Wie kann ich beweisen, dass die Funktion nicht stetig im Punkt (0,0) ist und dass sie außerdem im Punkt (0,0) nicht differenzierbar ist ?

Answer 1

wähle den Weg x=y, dann ist

f(x,x)= x^2/(2x^2)=1/2 , also lim x --> 0 f(x,x) =1/2  ≠0 also nicht stetig.

Dann kann sie aber auch nicht differenzierbar dort sein.

Comments

danke für die schnelle Antwort!

Answer 2

Hallo

 wähle für x_n, y_n die Folge einmal 1/n,1/n einmal 2/n,1/n  und den Grenzwert n gegen oo.

wenn nicht stetig, dann auch nicht differenzierbar, oder bilde die part. Ableitungen für  x!=0 und dann dasselbe wie oben.

Gruß lul

Answer 3

  Ganz einfach; du gehst über zu Polarkoordinaten.

      x  =  r  cos  (  ß  )      (  1a  )

      y  =  r  sin  (  ß  )     (  1b  )

    Dann wird unter Ausnutzung eines Additionsteorems

     f  (  x  ;  y  )  =  f  (  r  ;  ß  )  =  1/2  sin  (  2  ß  )     (  2  )

    Aber im Ursprung ist der Polarwinkel ß gar nicht definiert; wenn du also den Grenzwert bildest mittels einer Folge auf einem Strahl mit konstantem ß , dann hängt der Grenzwert von ß ab.

   Wenn du die Funktion   3 D plottest mit verdeckten Kanten, dann " kalbt " sie im Ursprung.

  Vielleicht gibt es ja auch Online Höhenlinien;  du könntest deine Plots ja mal hier rein hängen.