Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden soll maximal werden.

Question

 Die Zahl 60 soll in zwei Summanden a und b zerlegt werden, dass das Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden maximal wird.

Ich bedanke mich im Voraus !!!

EDIT: Ursprüngliche Überschrift: Problemchen: Ich weiss nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

a+b = 60 a*b² soll maximal werden
f(b) = a*b² a = 60-b

=> f(b) = (60-b)*b^2
=> f(b) = 60b^2 - b^3 dann ableiten:
=> f'(b) = -3b^2 + 120b
=> f'(b)=0
=>0 = -3b^2 + 120b
=>0 = b(-3b + 120)
Erste Lösung ist also 0
0 = -3b + 120
-120 = -3b
40 = b
Zum Herausfinden der  Maximum Lösung nochmal ableiten
f''(b) = -6b + 120
f''(0) = 120 > 0, also Minimum
f''(40) = -240 + 120 = -120 < 0, also Maximum.
b ist also 40, a ist somit 20

Answer 2

a+b = 60

b= 60-a

f(a) = a*(60-a)^2 = ...

Berechne:

f '(a) =0

Answer 3

60 soll in zwei Summanden a und b zerlegt werden, dass das Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden maximal wird.

60 = a + b

60 = x + (60 - x)

a= x

b=(60 -x)

Nun das Produkt (die Zielfunktion)

f(x) = x * (60 - x)^2

Hier sollst du die Extremalstellen bestimmen.

[spoiler]

f(x) = x * (60 - x)^2

f(x) = x * (3600 - 120x + x^2)

f(x) = 3600x - 120x^2 + x^3

f '(x) = 3600 - 240x + 3x^2

3600 - 240x + 3x^2 = 0

1200 - 80x + x^2 = 0

x^2 - 80x + 1200 = 0. Ich weiss: x=60 ist eine Extremalstelle (doppelte Nullstelle)

                                    D.h. Ansatz (x - 60)(x - ??) = 0 möglich.

(x - 60)(x - 20) = 0

x1 = 60 mit f(60) = 0

x2 = 20 mit f(20) = 20 * 40^2 = 20 * 1600 = 32000 . Das hier ist das lokale Maximum.

Daher a = 20 und b = 40 .

Comments

Anmerkung: a und b könnten theoretisch auch beide negativ sein, es sei denn, dass das irgendwo ausgeschlossen wurde.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x+*+(60+-+x)%5E(2)

Du siehst: Wenn x = a grösser als 60 wäre, ist b negativ und das erwähnte Produkt kann beliebig gross werden.