erstmal zu V, W geht genauso:
Polynome vom Grad 3 oder niedriger haben allgemein die Form
$$ a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3 $$
Basis bedeutet: du kannst jeden Vektor (hier die Polynome) als Linearkombination
der Basisvektoren (hier die Basispolynome) darstellen.
Die Gleichung
$$ a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3=\lambda_0 *1+\lambda_1(t+1)+\lambda_2 (t^2+t+1)+\lambda_3(t^3+t^2+t+1) $$
soll also für beliebige a_i lösbar sein. Schreibt man nun um, so erhält man
$$a_0*1+a_1t+a_2t^2+a_3t^3=(\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) *1+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)t+(\lambda_2+\lambda_3)t^2+\lambda_3t^3\\ $$
Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten übereinstimmen. Man erhält also 4 Gleichungen
$$ a_3=\lambda_3\\a_2=\lambda_2+\lambda_3\\a_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\\a_0=\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 $$
mit den Lösungen
$$ a_3=\lambda_3\\a_2-a_3=\lambda_2\\a_1-a_2=\lambda_1\\a_0-a_1=\lambda_0 $$
Also handelt es sich um eine Basis.
