Erwartungswert der Augenzahlsumme bei unbekannter Anzahl der Würfe

Question

ich benötige Hilfe zur Berechnung eines Erwartungswertes vom Erwartungswert einer bedingten Zufallsvariable.

Fragestellung:

Man hat X Würfel, wobei X die Anzahl von "Wappen" bei 3-maligen Münzwurf ist und Y die Augensumme der Würfe. Man soll den Erwartungswert und die Varianz von Y berechnen.

Fragen zum Lösungsweg:

Mir ist von den bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt, dass E(Y) = E(E(Y|X)). X müsste ja binomialverteilt sein und der Augensummen Erwartungswert bei x Würfeln E(Y|X=x) = 3.5x, Mit binomialverteilter ZV X also E(Y|X) = 3.5*X_Bin . Ist der Erwartungswert davon E(E(Y|X))= 3.5*5*0.5? Und wie kommt man bei unbekannter Würfelanzahl direkt auf den Erwartungswert der Augensumme E(Y)?

Comments

Noch eine Ergänzung:

Der berechnete Erwartungswert E(E(Y|X)) sollte stimmen aufgrund der Produktregel

E(3.5*X_Bin) = 3.5*E(X_Bin) = 3.5*5*0.5

richtig?

Bliebe noch die Varianz übrig. Hier gilt die Beziehung:

Var(Y) = Var(E(Y|X)) + E(Var(Y|X))

Summand 1: Var(E(Y|X)) = Var(3.5*X_Bin) = 3.5² 5*0.5*0.5 = 12.25 + 1.25 = 13.5

Summand 2: E(Var(Y|X)) = E(5*0.5*0.5)=5*0.5*0.5=1.25

Also Var(Y) = 13.5 + 1.25 = 14.75

Ist das so korrekt?

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Oh, ein Fehler ist mir in der Aufgabenstellung aufgefallen. Es sollen natürlich n = 5 Münzwürfe sein.