Lösen einer kubischen Gleichung. x^3-11x+20=0

Question

2.1 Gegeben ist die Gleichung (G) : x3 - 11x + 20 = 0.
Bestimmen Sie graphisch (eventuell nur näherungsweise) mit Hilfe der kubischen Normalparabel oder numerisch -tabellarisch alle reellen Lösungen dieser Gleichung. Begründung!

Muss man hier eine Polynomdivision durchühren?

2.2 Zeigen Sie algebraisch durch Einsetzen in (G) und passende Umformungen: Die komplexe Zahl u = 2 + i ist eine Lösung der Gleichung (G).
Bestimmen Sie nun geschickt alle komplexen Lösungen der Gleichung (G). Begründung!

Answer 1

[Antwort nach Kommentar verbessert]

Man kann die Lösungen recht einfach über Polynomdivision oder Horner Schema bestimmen, wenn man eine Nullstelle findet.

x^3 - 11·x + 20 = 0

Wir finden Tabellarisch eine Lösung bei x = -4

(x^3 - 11·x + 20) : (x + 4) = x^2 - 4·x + 5 = 0

Keine weiteren Lösungen über pq-Formel.

----------

Wenn man sich allerdings die Aufgabe durchliest, was ich am Anfang nicht gemacht habe, dann gibt der Dozent nur 2 Lösungswege vor von denen Du einen nach Wahl wählen sollst.

Du darfst hier also nicht mal eine Polynomdivision machen, wenn ich das richtig sehe.

Comments

Bestimmen Sie nun geschickt alle komplexen Lösungen der Gleichung (G)

Wenn a + bi eine quadratische Gleichung erfüllt, dann auch a - bi.

---

Die Frage war:

Muss man hier eine Polynomdivision durchühren?

Die Antwort lautet:

Nein!

---

Wenn es grafisch oder tabellarisch gemacht wird nicht. Das stimmt.

~plot~ x^3-11x+20;[[-10|10|-100|100]] ~plot~

oder auch

~plot~ x^3;11x-20;[[-10|10|-100|100]] ~plot~

Dann würde man recht leicht sehen, dass es nur eine reelle Nullstelle geben kann

Answer 2

  Zunächst mal sei hier wieder der ===>  Satz von der rationalen Nullstelle erwähnt, der, da dein Polynom normiert ist, nur ganzzahlige Teiler  von 20 zulässt.  Über die ===> cartesische Vorzeichenregel kriegst du genau eine  negative Wurzel; x3  =  (  -  4  )

   Sehr schön, dass sich hier das Hornerschema langsam durchsetzt;  meine Eigenentwicklung sind allerdings  die erste und zweite Alfonsinische pq-Formel ( AF1 und AF2  )  Ich fand es irgendwie witzig, sie nach König Alfons 3/4 XII von Lummerland zu benennen;  die User scheinen das auch übernommen zu haben.

   Ich erhielt auch das Kompliment, es handle sich um die beste Formel.   Achtung; immer von der Normalform ausgehen.

        f  (  x  )  =x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0     (  1a  )

       a2  =  0  ;  a1  =  (  -  11  )  ;  a0  =  20     (  1b  )

      g  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q        (  2a  )

        a2  =  -  (  p  +  x3  )  ===>  p  =  4          (  2b  )  ; AF1

      a0  =  -  q  x3  ===>  q  =  5      (  2c  )    ;  AF2

      x  ²  -  4  x  +  5  =  0     (  3  )

    

   Auch hier empfiehlt sich der Satz von Vieta.

    p  =  2  Re  (  z0  )  ===>   Re  (  z0  )  =  2     (  4a  )

    q  =  |  z0  |  ²  =  5     (  4b  )

   Und damit aus Pytia und Goras eine ganze Gaußsche Zahl

    z0  ;  z0 *  =  2  +/-  i        (  5  )