zeigen, dass d ein Gruppenhomomorphismus ist

Question

es ist d( a b    = ad-bc und es werden 2x2 Matrizen im Körper K betrachtet.

             c  d)

Ich soll zeigen dass d ein Gruppenhomomorphismus ist. Wie gehe ich hier jetzt vor?

Comments

Wenn gilt: \(\quad ad\quad -\quad bc\quad \neq \quad 0\quad ? \) und ist gefragt nach


$$\\ \varphi \quad :\quad GL(2,\quad R)\quad \rightarrow \quad (R,\quad *) \quad ? $$


Dann ist:


$$\\ \\ \varphi ({ g }_{ 1 }\quad *\quad { g }_{ 2 })\quad =\quad det(A\quad *\quad B)\quad =\quad det(A)\quad *\quad det(B)\quad =\quad \varphi ({ g }_{ 1 })\quad *\quad \varphi ({ g }_{ 2 })$$

$$ (n.\quad d.\quad Determinantenmultiplikationssatz).$$

$$\\ \varphi (g)\quad =\quad \varphi (g\quad *\quad { e }_{ G })\quad =\quad det(A\quad *\quad { E }_{ 2 })\quad =\quad det(A)\quad *\quad det({ E }_{ 2 })\quad =\quad \varphi (g)\quad *\quad \varphi ({ e }_{ g })\\ \\ { e }_{ G }\quad =\quad { E }_{ 2 }\quad ist\quad das\quad neutrale\quad Element\quad in\quad { M }_{ 2 }(R).$$


$${ e }_{ H }\quad =\quad 1\quad =\quad \varphi ({ e }_{ g })\quad =\quad det({ E }_{ 2 })\quad =\quad det(A\quad *\quad { A }^{ -1 })\quad =\quad det(A)\quad *\quad det({ A }^{ -1 })\quad =\quad det(A)\quad *\quad \frac { 1 }{ det(A) } \quad \\ man\quad beachte\quad es\quad gilt\quad nach\quad Voraussetzg.\quad det(A)\quad \neq \quad 0 \\ { e }_{ H }\quad =\quad 1\quad ist\quad das\quad neutrale\quad Element\quad in\quad (R,\quad *).$$

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$$\quad \varphi ({ g }^{ -1 })\quad =\quad det({ A }^{ -1 })\quad =\quad \frac { 1 }{ det(A) } \quad =\quad { \left( \varphi (g) \right)  }^{ -1 }$$

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$${ E }_{ 2 }\quad ist\quad das\quad neutrale\quad Element\quad in\quad ({ GL }(2,\quad R),\quad *)$$

Answer 1

Voraussetzung: ad-bc ≠ 0

$$Seien\quad die\quad Gruppen\quad mit\quad den\quad jeweiligen\quad Verknüpfungen\quad \\ G\quad :=\quad (GL(2,\quad R),\quad *)\quad und\quad H\quad :=\quad (R,\quad *)\quad \\ und\quad \\ sei\quad d \quad die\quad mögliche\quad Funktion\quad für\quad den\quad Gruppenhomomorphismus\quad \\ mit\quad d \quad :\quad G\quad \rightarrow \quad H\quad und\quad der\quad Zuweisung\quad einer\quad Determinante.$$

$$Es\quad gilt\quad mit\quad dem\quad Determinantenmultiplikationssatz:\\ \\ d (A\quad *\quad B)\quad =\quad det(A\quad *\quad B)\quad =\quad det(A)\quad *\quad det(B)\quad =\quad d (A)\quad *\quad d (B) \quad \\ | \quad A,B\quad \in \quad G $$

$$Die\quad neutralen\quad Elemente\quad e\quad von\quad G\quad und\quad H\quad sind:\quad { e }_{ G }\quad =\quad { E }_{ 2 }\quad und\quad { e }_{ H }\quad =\quad 1.\\ \\ Das\quad neutrale\quad Element\quad von\quad G\quad wird\quad auf\quad das\quad neutrale\quad Element\quad von\quad H\quad abgebildet,\quad denn\\ \\ d ({ e }_{ G })\quad =\quad det({ E }_{ 2 })\quad =\quad 1\quad =\quad { e }_{ H }.$$

$$Das\quad inverse\quad Element\quad von\quad A\quad \in \quad G\quad ist\quad { A }^{ -1 }.\\ \\ Es\quad gilt\quad mit\quad dem\quad Satz\quad z.\quad Berechnung\quad der\quad Det.\quad einer\quad Inversen:\\ \\ d ({ A }^{ -1 })\quad =\quad det({ A }^{ -1 })\quad =\quad \frac { 1 }{ det(A) } \quad =\quad { \left( d(A) \right)  }^{ -1 } \quad | \quad det(A) ≠ 0$$

$$ d \quad ist\quad ein\quad Gruppenhomomorphismus.$$