komplexe Differenzierbarkit prüfen

Question

Ich soll prüfen, ob die folgenden Funktionen komplex differenzierbar sind.

a) f(z)=e^{i(z^2)}

b) h(x+iy)=x²+iy²

Also bei a) kann ich die Ableitung bilden, sie lautet f´(z)=2ize^{i(z^2)} . Habe ich damit dann automatisch gezeigt, dass die Funktion komplex differenzierbar ist?

Bei b wäre ich wie folgt vorgegangen: u(x,y)=x² und v(x,y)=y²  Dann ist u abgleitet nach x =2x und u abgeleitet nach y=0. Außerdem ist v abgeleitet nach x= 0 und v abgeleitet nach y= 2y. Somit sind die Cauchy Riemann Differentialgleichungen nur erfüllt für 0 und deshalb ist b) nur in 0 differenzierbar.

Stimmt das so?

Answer 1

Zu a) Es ist klar, dass eine Funktion differenzierbar ist, wenn man mit bekannten Fakten und Regeln die Ableitung sogar explizit ausrechnen und hinschreiben kann. Bleibt noch die Frage, ob die notwendigen Fakten und Regeln bereits im Komplexen bewiesen wurden oder ob Du sie "einfach so" benutzt hast.

Zu b) Partielle Differenzierbarkeit und Gueltigkeit der Cauchy-Riemannschen DGln reicht nicht. Man braucht schon reelle Differenzierbarkeit und die Gueltigkeit der Cauchy-Riemannschen DGln. Letzteres bedeutet hier ausserdem x=y und nicht x=y=0.