Funktion auf Diff‘barkeit untersuchen

Question

Moin

Gegeben wird folgende Funktion

Text erkannt:

\( f(x):=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 .\end{array}\right. \)

auf R \ {0} definiert.

a) Ich soll die Ableitung f‘(x) für x ≠ 0 berechnen

b) Ich soll entscheiden ob f in 0 differenzierbar ist und ggf. die Ableitung f‘(0) bestimmen

c) Ich soll entscheiden ob f stetig differenzierbar ist

a) ist mir klar. Die Ableitung habe ich mithilfe einem Onlinerechner berechnen lassen und sie lautet wohl

Text erkannt:

\( 2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) x-\cos \left(\frac{1}{x}\right) \)

b) und c) verstehe ich nicht. Ich bitte um Hilfe

Comments

auf R \ {0} definiert.

Wo steht das?

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Habe mich da vertan

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Schreib die Aufgaben wörtlich und vollständig ab und schreibe nicht um. Generell!

In der Aufgabe steht sicher nicht "ich soll".

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Mach ich das nächste mal

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@Herbstitimm Ich rate dir, das du deine Aufgaben das nächste mal auch selber versuchst. Es ist immer wichtig es mal selbst ausprobiert zu haben. Es muss nicht immer richtig sein, was man macht, aber man sollte es zumindest versuchen. Übung macht den Meister!

Ich habe dir diesmal unten eine Lösung hochgeladen. Schaue dir genau die Idee an und versuche die nächsten Aufgaben dieses Typs dann in der Art selber zu lösen.

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Die Ableitung habe ich mithilfe einem Onlinerechner berechnen lassen

Das ist schon mal falsch.

Answer 1

Hallo.

Wieso auf |R \ {0}? Da ist doch auch eine Definition für x = 0.

Zu a). Zuerst einmal solltest du allgemein deine Aufgaben schon selber machen und nicht irgendwelche Internetrechner dafür nutzen, denn so lernst du nichts. So eine Funktion abzuleiten ist eigentlich ein absoluter Basic Skill, den du schon längst haben solltest!

Bei b) nutze die ursprüngliche Definition der Differenzierbarkeit, also überprüfe ob der Differentialquotient (Grenzwert) für den Nullpunkt existiert.

In dem Fall kommst du mit Umformungen auf den Grenzwert lim (x —> 0) x sin(1/x). Der existiert und um das zu zeigen, kannst du den Ausdruck |x sin(1/x)| mal nach oben abschätzen.

Bei c) musst du überprüfen ob die Ableitung f’ stetig ist. Kleiner Tipp: Sie ist im Nullpunkt unstetig. Überlege dir also mal, wie man Unstetigkeit zeigen kann…

Comments

Okay ja a) kann ich verstehen.

b) und c) verstehe ich aber nicht.

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Gute Antwort!

Zur b) habe ich einen Vorschlag eines etwas einfacheren Ansatzes, der keine weitere Antwort wert ist: Da \(\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq 1\), gilt \(-x^2 \leq f(x) \leq x^2\) für alle \(x\in\mathbb{R}\), siehe das Bild als Veranschaulichung.

Daraus folgt bereits, dass \(f'(0)=0\) gelten muss, da die beiden Grenzen scharf in \(x=0\) mit gleicher Ableitung sind. Wenn der FS dieses Argument noch nicht kennt, bitte kommentieren für eventuelle Details.

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Es wurde dir ja gesagt, was du tun sollst, also mach das. Fang mal an.

Es geht um den Differenzenquotienten, nicht Differentialquotient.

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@Herbstitimm

Wie ich schon oben erwähnte, mache eine Abschätzung von |x sin(1/x)|. Hinweis: Was gilt denn immer für den Sinus und was gilt für den Betrag?

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...          .

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@nudger Ja, aber meinte oben schon den Grenzwert, also den Differentialquotienten. Das ist ja gerade die Ableitung

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Dazu muss man aber den Differenzenquotienten untersuchen. Wenn man vom Grenzwert spricht, gehört dazu Grenzwert wovon?

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Ja klar, der Differenzenquotient für x = 0 ist hier vereinfacht der Ausdruck x sin(1/x). Der Grenzwert für x —> 0 ist dann der Differenzialquotient für x = 0, also die Ableitung f‘(0), falls existiert, was ja hier der Fall ist.

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Ob der existiert, weiß man erstmal nicht.

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Also ist das richtig so?

b)

Dann geht der Betrag von x für x gegen 0 auch gegen 0 und damit auch der Audruck mit dem Sinus. Also ist die Ableitung von f in 0 gleich 0?

Bei c) meintest @Txman das ich zeigen soll das die Ableitung im Nullpunkt unstetig ist. Wie macht man das?

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@Txman ich verstehe deinen Einwand gegen meinen Vorschlag nicht ganz, kannst du das nochmal erläutern?

[ah sehe jetzt erst, dass du deinen Kommentar bearbeitet hattest]

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@Herbstitimm das Argument zur b) sieht schon recht gut aus und kannst du so machen.

c) Du hast doch einen Ausdruck für \(f'(x)\), falls \(x\neq 0\). Was passiert damit denn, wenn \(x\to 0\)? Der linke Summand scheint ja gegen \(0\) zu gehen, wenn du in Richtung b) äugelst. Was macht der rechte Summand denn?

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@joners Ja alles gut :)

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@Herbstitimm   b) ist richtig.

c) Du musst zeigen, das der Grenzwert

lim (x —> 0) f’(x)

= lim (x —> 0) (2x sin(1/x) - cos(1/x)) nicht gleich 0 = f’(x) ist. Hinweis: Der Grenzwert existiert nicht einmal. Wie zeigt man denn, das ein Grenzwert nicht existiert?

Du wählst also Nullfolgen (x(n)) und (y_n) (wegen x —> 0) und zeigst dann das die Bildfolgen f‘(x(n)) und f‘(y(n)) gegen unterschiedliche Punkte konvergieren.

(Betrachte dazu noch paar Eigenschaften von Sinus und Cosinus. Wann ist der Sinus 0, wann ist der Cosinus 1 oder -1?)

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Verstehe es nicht :(

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*Sorry da oben sollte 0 = f‘(0) stehen.

Was verstehst du denn nicht? Nochmal genauer:Wähle Nullfolgen (x(n)), (y(n)), sodass sin(x(n)) = sin(y(n)) = 0 und cos(x(n)) = -1 so wie cos(y(n)) = 1 ist.

Alternativ kannst du auch @joners Hinweis nutzen. Der eine Summand cos(1/x) hat für x —> 0 keinen Grenzwert. Wie kannst du das z.B. zeigen?

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Kannst du vielleicht deine Lösung hochladen? Ich glaub das hilft mir mehr

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Hier eine Lösung von mir für c): (Versuche am besten zumindest jeden Schritt nachvollziehen zu können, wenn du hier schon nicht selber drauf gekommen bist)

Man wählt die Folgen x(n) := 1 / (2nπ) und y(n) := 1 / ((2n+1)nπ). Diese konvergieren beide gegen 0. (Grund du kannst sie beide nach oben durch 1/n abschätzen und (1/n) ist ja bekanntlich eine Nullfolge).

Jedoch gilt dann f(x(n)) = -1 und f(y(n)) = 1 für alle n. Das gilt, da sin(nπ) = 0 ist für jedes n und cos((2n)π) = 1, cos((2n+1)π) = -1 gilt.  Dann ist insbesondere lim f(x(n)) = -1 ≠ 1 = lim f(y(n)). Somit kann nach Definition der Grenzwert lim (x—>0) f‘(x) nicht existieren. Das zeigt vorallem das hier nicht lum (x—>0) f‘(x) = f‘(0) = 0 gelten kann und damit ist die Ableitung f‘ in 0 unstetig. Also ist f auch i.A. nicht stetig differenzierbar.

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Alternativ nach @joner Hinweis:

Wir zeigen das lim (x —> 0) cos(1/x) nicht existiert. Sei g(x) := cos(1/x). Dafür kannst du die gleichen Nullfolgen von oben wählen, sodass g(x(n)) = -1 und g(x(n)) = 1 gilt und daher die Grenzwerte nicht übereinstimmen, was die Nicht-Existens von dem Obigem zeigt.

Du kannst aber auch allgemein die Nullfolge  z(n) := 1/(πn) wählen. Dann ist nämlich g(z(n)) = cos(πn) = (-1)^n und da existiert der Grenzwert lim g(z(n)) = lim (-1)^n gar nicht mal.

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Danke sehr! Das ist mir jetzt klar