Hier eine Lösung von mir für c): (Versuche am besten zumindest jeden Schritt nachvollziehen zu können, wenn du hier schon nicht selber drauf gekommen bist)
Man wählt die Folgen x(n) := 1 / (2nπ) und y(n) := 1 / ((2n+1)nπ). Diese konvergieren beide gegen 0. (Grund du kannst sie beide nach oben durch 1/n abschätzen und (1/n) ist ja bekanntlich eine Nullfolge).
Jedoch gilt dann f(x(n)) = -1 und f(y(n)) = 1 für alle n. Das gilt, da sin(nπ) = 0 ist für jedes n und cos((2n)π) = 1, cos((2n+1)π) = -1 gilt. Dann ist insbesondere lim f(x(n)) = -1 ≠ 1 = lim f(y(n)). Somit kann nach Definition der Grenzwert lim (x—>0) f‘(x) nicht existieren. Das zeigt vorallem das hier nicht lum (x—>0) f‘(x) = f‘(0) = 0 gelten kann und damit ist die Ableitung f‘ in 0 unstetig. Also ist f auch i.A. nicht stetig differenzierbar.
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Alternativ nach @joner Hinweis:
Wir zeigen das lim (x —> 0) cos(1/x) nicht existiert. Sei g(x) := cos(1/x). Dafür kannst du die gleichen Nullfolgen von oben wählen, sodass g(x(n)) = -1 und g(x(n)) = 1 gilt und daher die Grenzwerte nicht übereinstimmen, was die Nicht-Existens von dem Obigem zeigt.
Du kannst aber auch allgemein die Nullfolge z(n) := 1/(πn) wählen. Dann ist nämlich g(z(n)) = cos(πn) = (-1)^n und da existiert der Grenzwert lim g(z(n)) = lim (-1)^n gar nicht mal.