Cn und Zn isomorph als Gruppen

Question

Sei Cn={ z Element C: z^n=1}. Sind (Cn •) und (Zn +n) isomorph als Gruppen?

Ich weiß dass ich zeigen muss dass es zwei zyklische Gruppen sind mit gleicher Ordnung. Kann mir jemand weiterhelfen?

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Was ist (Zn +n)?

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Diese Aufgabe habe ich auch.

mit (Zn, +n) ist (ℤ_n, +_n) gemeint, also das ist der Restklassenring.

Aber ich weiß leider auch nicht wie man das löst und wäre auch dankbar über einen Tipp.

Answer 1

Dass (ℤ_n, +_n) eine  zylische Gruppe der Ordnung n ist, sollte bekannt sein.

Dass (ℂ_n, •) eine  zylische Gruppe der Ordnung n ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass Multiplikation in den komplexen Zahlen die Argumente addiert:

        r₁e^iφ₁ · r₂e^iφ₂ = r₁r₂e^{i(φ₁+φ₂)}.

Sei z = e^2πi/n und M := {z^k ∈ ℂ_n | 1≤k≤n}. Dann ist |M| = n und M⊆ℂ_n.

Sei nun c = e^iφ ∈ ℂ_n. Wegen 1 = cⁿ = (e^iφ)ⁿ = e^iφn ist nφ = 2πm für ein m∈ℕ. Mit diesem m gilt dann φ = m/n·2π. Also ist φ ein ganzzahliges Vielfaches des n-ten Teils von 2π. Die entsprechenen komplexen Zahlen mit Betrag 1 liegen alle in M. Also ist ℂ_n ⊆ M.

Wegen M⊆ℂ_n und ℂn ⊆ M ist ℂ_n = M.

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Super vielen Dank für deine Hilfe!!!!