1. Ableitung einer nicht komplett differenzierbaren Funktion möglich?

Question

ist es möglich die 1. Ableitung einer Funktion zu bilden, die nicht komplett differenzierbar ist? Ich denke da besonders an abs(x), welche ja an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist. In meinem Mathe-Skript steht, dass es eigentlich nicht geht. Mein Taschenrechner dagegen sagt dass die erste Ableitung von abs(x) = sgn(x) ist.

Was stimmt nun?

Answer 1

eine reelle Funktion f: (a,b) --> ℝ heißt differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.

Das gilt für die Betragsfunktion nur, wenn x≠0.

Answer 2

      Einer meiner Schmuddeltricks bei der Berechnung von Grenzwerten ist ja die Inversion

      z  :=  1 / n      

    Während also  n €  |N  gegen  (  +  °°  )  geht,     geht z ===>  (  +  0  )  Damals hatte ich den Grenzwert einer Betragsfunktion auszuwerten. Und da argumentierte ich eben, die Krankenhausregel  sei Anwendbar, weil du nur den Rechtslimes bildest;  die rechtsseitige Ableitung der Betragsfunktion existiert auch in x0 = 0 .

   Bitte mich  nicht falsch zitieren; ich habe nicht behauptet, dass sie in x0 = 0 differenzerbar sei.