Kovariante und Kontravariante Basis bestimmen. Nachtrag: Bin ich so schon fertig?

Question

ich bin mir gerade nicht sicher wie ich diese Aufgabe gezielt angehen muss:
Wenn \({ x }^{ 1 },{ x }^{ 2 },{ x }^{ 3 }\) kartesische Koordinaten und \({ u }^{ 1 },{ u }^{ 2 },{ u }^{ 3 }\) krummlinige und nicht-orthogonale Koordinaten und wir \({ x }^{ 1 } = -a { u }^{ 1 }sin({ u }^{ 2 })\), \({ x }^{ 2 } = b { u }^{ 1 }cos({ u }^{ 2 })\) und \({ x }^{ 1 } = c { u }^{ 3 }\) (mit a,b,c ≠ 0) wie bestimme ich dann die Kovariante und Kontravariante Basis?

Nachtrag: Bin ich so schon fertig, wie ich das im Bild im Kommentar gemacht habe?

Comments

EDIT: Ich habe die Frage versehntlich in die Mathelounge verschoben und nun wieder zurückgeholt. EDIT: Ist inzwischen in der Mathelounge. 

Warum bist du damit genau in der Nanolounge (Physikforum)?

Geht es um Relativitätstheorie? So was ? https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors

Auf Englisch z.B. S. 80 https://oaktrust.library.tamu.edu/bitstream/handle/1969.1/2502/IntroductionToVectorsAndTensorsVol1.pdf?sequence=12 aber auch schon früher.

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Ja, das selbe hab Ich mich auch schon gestellt. Ist halt eine Aufgabe in meiner Elektrodynamik VL. Aber stimmt schon passt glaub ich eher in Mathelounge... Darf also gern verschoben werden.

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Ich habe inzwischen die Begriffe in der deutschsprachigen Wikipedia gefunden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Physik)#Kovariant_und_Kontravariant

Passt das zu eurer Vorlesung?

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Danke dafür schon mal. In unserer VL haben wir Ko- und Kontravarianz noch nicht wirklich behandelt, oder nur sehr kurz. Sicherlich in Analysis damals aber ja...da war ich eh nicht so gut drin. 
Auf unseren aufgaben Zettel haben wir auch angegeben das es sich bei der Kovarianz um eine normierte Basis von Tangentialvektoren handelt, die angegeben werden kann als \(e_i = \frac { t_i  }{ |t_i)|  } \) wobei \(t_i = \frac {\partial \overrightarrow { x } }{ \partial u^i }\) ist. Das hab ich jetzt einfach mal so gemacht und komme dann auf das, was auf dem Foto ist. Der Grud warum ich die Frage überhaupt gestellt habe ist, dass mir das zu einfach vor kommt...oder ist das schon so richtig?

Etwas Dunkel, entschuldige dafür, aber ich denke man sieht was ich gemacht habe. Dies sind also nun meine berechneten \(e_i\), also laut Aufgabe meine normierte Basis aus tangentialvektoren die die Kovariante Basis darstellen soll.

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Gut, dass du inzwischen deine Unterlagen etwas genauer studiert und zitiert hast. Da erkennt vielleicht jemand, was du zu tun hast.

Deine Rechnung kann ich leider nicht entziffern. Du hast die gegebenen Vektoren einfach mal partiell abgeleitet und auf die Länge 1 gebracht?

Verwirrend ist, dass du "hoch zwei" und hochgestellte Indizes verwendest.

Versuche es mit einem helleren Bild oder besser mit dem Formeleditor: https://www.matheretter.de/tools/formeleditor/?notice=1

bzw. https://www.matheretter.de/tools/formeleditor/?notice=0

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Ich häng gleichmal meine komplette Rechnung dran. Sorry für die Schwierigkeiten, bin heut nicht so ganz bei der Sache. 

Hier mal mit Blitz!

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@Lu: tut mir Leid, da bin ich draußen! Wenn ich es überhaupt verstanden habe, so liegt hier doch gar keine Kovarianz vor? Bzw. ich muss mir zunächst mal definieren, was Kovarianz bei einer 'krummlinien' Transformation bedeutet.

Hier habe ich noch was gefunden, was vielleicht weiter hilft. Da wird auch die Kovarianz definiert - ich kann mir aber nichts darunter vorstellen ;-)

Gruß Werner