Besitzt eine unendliche Gruppe eine Untergruppe?

Question

Ich besuche gerade die Algebra Vorlesung und habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

Sei G eine Gruppe mit unendlich vielen Elementen und sei H eine nichtleere Teilmenge von G. Seien a*b ∈ h für alle a,b ∈ H.

Ist H eine Untergruppe von G?

Also ich hätte gesagt, dass H keine Untergruppe von G ist, weiß aber nicht wie ich das beweisen kann oder welches Gegenbeispiel ich verwenden kann.

Answer 1

Hallo

 was brauchst du denn für eine Gruppe noch, ausser dass mit a und b auch a*b in der Gruppe liegt, das fehlt in der Def. von H

Gruß lul

Comments

Ich habe aber sonst nichts anderes gegeben.

Answer 2

betrachte mal den Körper \( \mathbb{Q} \). Dann ist \( \mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\backslash\lbrace 0\rbrace \) (die Einheitengruppe) offenbar eine Gruppe mit unendlich vielen Elementen.

Betrachte jetzt \( H:= \mathbb{Z}\backslash\lbrace 0\rbrace\subseteq\mathbb{Q}^*\). Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist sicherlich wieder eine ganze Zahl, aber ist das auch eine Gruppe?

Answer 3

  Die Bedingung ist nicht hinreichend.  Nimm (  |Z  ;  +  )   Zwar sind die natürlichen Zahlen  ( |N  ;  +  )  abgeschlossen; aber sie bilden  eben keine Gruppe.  Ihnen ermangeln  die Inversen  ( hier die negativen Zahlen )

   Zweites Gegenbeispiel; die positiven rationalen oder reellen Zahlen mit Multiplikation bilden eine Gruppe. auch hier sind die natürlichen Zahlen wieder abgeschlossen; aber das reicht eben nicht.