Question

gegeben sei die Funktion f: x → e^-x ; x  ∈ℝ+ 0 

c)  für welches u hat  das Dreieck, das aus der Tangente von teil a) und den beiden Kordinatenachsen gebildet wird , maximalen Flächeninhalt?

komme hier einfach nicht weiter.

Als Tangentengleichung habe ich   y = -e^-u  *  x  + e^-u  * (1+u)

falls jemand weiter weiß, bitte mit Rechenweg.

Answer 1

Bestimme die Achsenabschnitte deiner Tangentengleichung (in Abhängigkeit von u). Für welches u wird deren (halbes) Produkt maximal?

Answer 2

Ich gehe einmal von dir von dir aufgestellten
Gleichung für die Tangente aus

y = -e ^{-u}  *  x  + e ^{-u}  * (1+u)

jetzt rechnest du den y-Achsenabschnitt und
die Nullstelle aus

y ( 0 ) = -e ^{-u}  *  0  + e ^{-u}  * (1+u)
y ( 0 ) =  e ^{-u}  * (1+u)

Nullstelle
y ( x ) = -e ^{-u}  *  x  + e ^{-u}  * (1+u)  = 0
e ^{-u}  * (  -x  + (1+u ) )  = 0
e ^{-u}  * (  -x  +1 + u )  = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
e ^{-u}  ist stets ungleich 0
und
-x  +1 + u = 0
x = 1 + u

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist
A = y * x / 2
A = e ^{-u}  * (1+u)  * ( 1+ u )
A = e ^{-u}  * (1+u ) ^2 
1.Ableitung
A ´ ( u ) = - e ^{-u} * ( u^2 - 1)
Zu Nullsetzen
- e ^{-u} * ( u^2 - 1) =0
Satz vom Nullprodukt anwenden
u^2 - 1 = 0
u = -1
und
u = 1

Mir fällt jetzt auf : wo kommt zwischen
der Funktionsgleichung und der Tangenten-
gleichung das u her ?

Comments

Vielleicht sollte man fragen, warum da noch ein x herumsteht...

Ps:

Hm... das ist auch Quatsch.

Vermutlich soll (u|f(u)) der Berührpunkt sein.