Seitenlänge berechnen und Winkel im Dreieck ABC berechnen

Question

wie berechnet man die Seitenlängen und Winkel bei dem Dreieck ABC

A(5|0|4)

B(3|0|0)

C(5|4|0)

Bei dem Winkel alpha kommt man auf 50,8 Grad , was muss ich berechnen ?

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Vom Duplikat:

Titel: Seitenlänge berechnen und Winkel im Dreieckberechnen

Stichworte: geometrie,dreieck,winkel

wie berechnet man die Seitenlängen und Winkel bei dem Dreieck ABC

A(5|0|4)

B(3|0|0)

C(5|4|0)

Bei dem Winkel alpha kommt man auf 50,8 Grad , was muss ich berechnen ?

Answer 1

Hallo Bobomo,

Berechne zunächst die Differenzen der Eckpunkte des Dreiecks - also die drei Seitenvektoren, es ist

$$ \begin{aligned} a &= C - B = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 0\end{pmatrix} \quad &\Rightarrow a^2 &= 20 \\        b &= A - C = \begin{pmatrix}0\\ -4\\ 4\end{pmatrix}  \quad &\Rightarrow b^2 &= 32  \\        c &= B - A = \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ -4\end{pmatrix}  \quad &\Rightarrow c^2 &= 20\end{aligned}$$ Die Quadrate der Seitenlängen sind die Quadratesumme der Koordinaten des jeweiligen Vektors (bzw. das Skalarprodukt mit sich selbst) - daraus folgen dann auch die Längen: $$a=2\sqrt{5} \quad b= 4\sqrt{2}\quad c= 2\sqrt{5}$$ Nach dem Cosinussatz folgt daraus der Winkel \(\alpha\) $$\cos \alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{20 + 32 - 20}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} } = \frac15 \sqrt{10}$$ $$\space \Rightarrow \alpha \approx 50,77°$$

Und da das Dreieck gleichschenklig ist (\(a=c\)), ist \(\gamma=\alpha\).

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Ich hatte die Vektoren so :

AB { -2

        0

        - 4}

AC {  0

         4

         -4}

BA   { 2

         0

         4}

Und immer AB * AC / |AB| * |AC| = ...

Wie würde man das bei dieser Rechnung machen, was mache ich falsch auf 88 zu kommen bei dieser Rechnung ?

Vielen Dank !!!

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$$AB \cdot AC = \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 4\\ -4\end{pmatrix} \\ \space = -2 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + (-4) \cdot (-4) = 16$$

$$|AB| \cdot |AC| = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} = 8 \sqrt{10}$$

$$\frac{ AB \cdot AC}{ |AB| \cdot |AC|} = \frac{16}{8 \sqrt{10}} = \frac15 \sqrt{10} \approx 0,6325$$

$$\alpha = \arccos\left( \frac15 \sqrt{10} \right) \approx 50,77°$$ ... wie sind Deine Zwischenergebnisse?

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0,6325 habe ich auch raus aber was ist arccos? Wohin muss ich die 0,6325 im Taschenrechner eingeben ? Das war mein Fehler

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aber was ist arccos?

wird auf dem TR meist mit \(\cos^{-1}\) angezeigt. Es ist die inverse Funktion des Cosinus.

siehe Arkuscosinus. ist \(\cos \alpha = x\) so ist

$$\alpha =\arccos x$$

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Komisch bei mir kommt immer noch 0,88 raus

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Das kannst Du auch graphisch schön konstruieren. Zeichen auf Papier einen Viertelkreis mit einem Radius von z.B. \(10\text{cm}\) (Einheitskreis). Dann trage die 0,6325 massstabsgerecht als \(6,325\text{cm}\) auf der Grundline ab (siehe Skizze die grüne Strecke)

Zeichne die Senkrechte zur Grundline, die den Kreis schneidet. Der Winkel vom Mittelpunkt zum Schnittpunkt ist der gesuchte WInkel.

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Komisch bei mir kommt immer noch 0,88 raus

Dann stelle den TR von RAD auf DEG um \(0,886 \cdot 180°/\pi \approx 50,8°\)

Answer 2

Hallo

 Seitenlänge mit Pythagoras: allgemein Abstand von 2 Punkten (x1,y1,z1)  und (x2,y2,z2)

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

Wenn du das Skalarprodukt kennst , dann den cos des Winkels aus dem Skalarprodukt bestimmen sonst mit dem cos Satz:

$$c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(\gamma)$$

Gruß lul

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Vielen Dank aber komme die ganze Zeit bei dem ersten Winkel alpha auf 88 Grad könnten Sie die erste berechnen wie ich auf 50,8 Grad komme

Answer 3

A(5|0|4) ; B(3|0|0) ; C(5|4|0)

Richtungsvektoren

AB = B - A = [-2, 0, -4]

AC = [0, 4, -4]

BC = [2, 4, 0]

Seitenlängen

|AB| = √(2^2 + 0^2 + 4^2) = √20

|AC| = √32

|BC| = √20

Winkel. Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Winkel bei A und C sollten gleich sein

α = ACOS([-2, 0, -4]·[0, 4, -4]/(√20·√32)) = 50.77°

β = ACOS(- [-2, 0, -4]·[2, 4, 0]/(√20·√20)) = 78.46°

γ = ACOS([0, 4, -4]·[2, 4, 0]/(√32·√20)) = 50.77°