Beweis Kreuzprodukt (Gleichungen)

Question

kann mir wer helfen die Gleichungen für Kreuzprodukte zu beweisen??

Ich verstehe nicht ganz wie ich das machen soll...

Hier die Aufgabe : Beweisen für die gleichungen des Kreuzprodukts.

a) (u + kv) × v = u × v mit u; v 2∈ ℝ³ und k ∈ ℝ

b) u × (v × w) = ( ⟨u,w⟩ ·v ) - ( ⟨u,v⟩ · w) mit u,v,w ∈ ℝ³

c) ⟨ u , (v × w) ⟩ =  - ⟨ (u w), v⟩ mit u,v,w ∈ ℝ³

Danke für eure Hilfe :))

Answer 1

a)
(u + k·v) ⨯ v = u ⨯ v mit u, v ∈ ℝ³ und k ∈ ℝ

Setz doch einfach mal ein

([u1, u2, u3] + k·[v1, v2, v3]) ⨯ [v1, v2, v3] = [u1, u2, u3] ⨯ [v1, v2, v3]

Und nun wird mal vereinfacht

[u1 + k·v1, u2 + k·v2, u3 + k·v3] ⨯ [v1, v2, v3] = [u1, u2, u3] ⨯ [v1, v2, v3]

[u2·v3 - u3·v2, u3·v1 - u1·v3, u1·v2 - u2·v1] = [u2·v3 - u3·v2, u3·v1 - u1·v3, u1·v2 - u2·v1]

Na das ist jetzt aber ein Zufall, dass dort das selbe rauskommt oder steckt da eventuell doch ein System hinter.

Comments

b) und c) darfst du ähnlich machen. Also erstmal Vektoren einsetzen, dann nach den Rechengesetzen allgemein berechnen. Da sollte immer das Gleiche herauskommen. Wenn nicht hast du etwas verkehrt gemacht und solltest dich nochmals melden.

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Okay ,das Prinzip dahinter verstehe ich jetzt, nur weiß ich nicht oder kriege ich es auf meinem zettel nicht hin das k raus zukürzen?  Wie genau bekomme ich das k aus der Gleichung?

Answer 2

a) Sei \(u := \begin{pmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix}, v:= \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}\). Dann ist \((u+kv)\times v = \begin{pmatrix} u_1+kv_1\\u_2+kv_2\\u_3+kv_3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}\).

Zeige, dass \(\begin{pmatrix} u_1+kv_1\\u_2+kv_2\\u_3+kv_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}\) ist.

b) Wie a)

c) Wie a)