Charakteristisches Polynom teilbar

Question

sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und W ein Unterraum von V. Sei zudem $$ f: V \to V $$ ein Endomorphismus mit $$ f(W)  \subset W $$ Zu zeigen ist, dass das charakteristische Polynom des Endomorphismus $$ f|w: W \to W $$ das charakteristische Polynom von f teilt.

Wenn jetzt zum Beispiel P(X) das charakteristische Polynom Q(X) teilt, müsste man doch zeigen, dass es ein Polynom S(X) gibt mit $$ P(X) * S(X) = Q(X) $$ Wie zeigt man aber, dass es so ein S(X) gibt? 

Answer 1

     also was ich kenne:  Es geht über die  ===>  Elementarteiler-Zerlegungh, weil diese immer direkt ist.   Das heißt du bekommst deine Matrix grundsätzlich in Blockdiagonalform;  und die Determinante   einer Blockmatrix ist das Produkt aus den Determinanten ihrer Kästchen.

   Sieht man auch sofort ein, wenn du bedenkst, dass die anschauliche Bedeutung hinter der Determinante ein Spatvolumen ist.

Comments

  Ich hab nochmal drüber nachgedacht.  Die Elementarteiler  ( ET )  Zerlegung führt zum Ziel.  Sei

      p_V  :=  p_min  (  x  ;  f  ;  V  )         (  1a  )

      das Minimalpolynom auf V

       p_V  *  V  =  {  0  }       (  1b  )

     In Worten:  Wenn ich das Minimalpolynom los lasse auf V,  dann wird V vernichtet.      Entsprechend definiere ich p_W

  Es ist das alte Spiel;  p_W erweist sich als Teiler von p_V  . Widerspruchsbeweis durch Polynomdivision ( Der Grad des Minimalpolynoms p_W   ist höchstens fleich der Dimension von  W .  )

       p_V  :=  q  p_W  +  r           (  2a  )

    p_V  W  =  p_W  W  =  {  0  }  ===>  r  W  =  {  0  }     (  2b  )

   Mit  ( 2b  )  wäre  Polynom  r  "  Minimaler  "  als  p_W

     Da p_W ein Teiler von p_V ist,  sind die Eigenwerte E_i  von f auf W  gleichzeitig  Eigenwerte auf V .    Und ihre Vielfachheiten n_i  sind laut ET Teorie grade immer die Dimensionen der Komponentenräume.   Zwangsläufig muss gelten

       n_i  (  W  )  <  =  n_i  (  V  )         (  3  )

    womit die Behauptung bewiesen wäre.