Verständnisfrage zur Norm

Question

ich habe eine Verständnisfrage zur Norm. Wozu brauche ich in dem Fall hier auf das 'Ergebnis' der Maximalnorm zu achten, wenn sie dann für die Antwort doch wieder egal ist. Hier ist die Aufgabe:Also laut der Norrm geht sie gegen 1 da |-1|=1 ist. Jetzt heißt es aber in der Lösung, dass man doch eigentlich auf den Grenzwert guckt, wenn man die Norm außen vor lässt. Für an und bn haben wir doch auch nur auf das ErgeErge der Norm geguckt. Ich weiß jetzt nicht wann man auf was achten soll. Woher soll ich denn wissen, wann ich mich auf was zu beziehen habe auf die Norm oder auf das Ergebnus ohne die Norm. Ich hoffe ich habe mich und mein Problem einigermaßen verständlich ausgedrückt.

Vielen Dank jm Voraus :)

Comments

Hallo

das Argument die Norm geht gegen 1 sagt nichts über die Konvergenz! die norm der differenzen geht nicht gegen 0 und das ist die Konvergenzbedingung. du willst ja nicht die Konvergenz der Norm der c_n zeigen, die konvergiert wirklich sondern die von c_n

Der möglichen GW  bzw. die Häufungspunkte sind ja bei c) ε: (1,-1) und (-1,1) aber ||c_n-c||<ε gilt in beiden Fällen nicht für alle n>N_0 also nicht konvergent, egal in welcher der 2 Normen. auch das Cauchkriterium ||c_n-c_m||<ε für alle m,n>N_0 gilt nicht. Der beweis für beide Normen ist prktisch derselbe, aber das soll ja genau gesagt werden. i,A, ist das N_0 zu einem \epsilon für die verschiedenen Normen verschieden.

 Dass du im ℝ2 auch mit den Komponenten einzeln die Konvergenz zeigen kannst, hilft dir später in anderen metrischen Räumen nicht, deshalb sollst du üben, mit Normen zu arbeiten, um Konvergenz zu zeigen.

Gruß lul

Answer 1

hallo

Konvergenz gegen a wenn für alle n>N_0 ||a-a_n||< \epsilon

in deinem 3. Fall hast du doch ||a_n-a|| abwechselnd 0 und √2 also nicht konvergent.

Dass du es für mehr als eine Norm zeigen sollst liegt daran, dass man darauf vorbereitet, dass Konvergenz in jeder Norm, die den Def von Norm entspricht dieselbe ist.

Gruß lul

Comments

Ich versuche mal meine Frage anders zu formulieren. Was sagt die Norm über die Konvergenz aus?

Answer 2

Ich weiß jetzt nicht wann man auf was achten soll.

Konvergente Folgen sind beschränkt und haben genau einen Häufungspunkt. Beides kann man mittels der Norm prüfen, muss man aber nicht. In b) wurde nicht mittels der Norm argumentiert, dass (c_n )_n∈ℕ zwei Häufungspunkte hat. Also kann diese Argumentation auch in c) verwendet werden.

Comments

ok das hilft mir auf jeden Fall schonmal sehr weiter. Aber, wenn man die Argumentation von b) verwenden kann, sas hat es für einen Sinn die neue Norm dafür zu verwenden man die b) einfach nochnal aufschrsiben könnte ( falls ich dich richtig verstanden habe). Und wie würde ich die Norm zur Bestimmung der Konvergenz verwenden, wenn bei c) für cn= 1 raus kommt, es aber trz kein Beweis für Komvergenz ist...

Danke vielmals im Vroaus