Also um sicher zu gehen, dass ich es verstanden habe:Man hat irgendein Skalarprodukt auf Rn , mit Hilfe von dem von mir angegebenem Satz wird jetzt also irgendeine Norm definiert.Also gibt es irgendein Skalarprodukt, welches eine Norm für die L1 Norm definiert.Irgendein anderes Skalarprodukt, welches eine Norm für die L2 Norm definiert und so weiter.
Und in dem von mir gegebenen Beweisschritt wird dann einfach verwendet, dass es eben ein Skalarprodukt gibt, welches dies für die L2 Norm macht?
Wenn das soweit richtig ist, dann verstehe ich nur noch nicht, warum man
$$|x| = \sqrt{<x,x>} $$
schon verwenden kann, weil das ganze aus dem Beweis ist, dass die euklidische Norm auch wirklich eine Norm ist. Genauer ist es aus dem Beweis, dass die Dreiecksungleichung gilt.
Desweiteren hätte ich noch eine weitere kurze Frage zur positiv definitheit von Matrizen/dem Skalarprodukt.
Ich habe eine Definition, die unter anderem aussagt, dass eine symmetrische Matrix A genau dann positiv definit ist, wenn <x,Ax> > 0 für alle x aus Rn ohne die 0.
Viel mehr habe ich dazu leider nicht und auch kein Beispiel der Anwendung.
Auf wikipedia steht, dass eine Matrix genau dann positiv definit ist, wenn dies für
xT Ax
gilt. Auf der Seite zum Standardskalarprodukt steht, dass <x,y> = ∑xi*yi = xTy.
Ich würde deswegen einfach mal davon ausgehen, dass auch im Skript vom Standardskalarprodukt die rede ist, leider steht da wie gesagt nichts genaueres zu.
Was ich hier jedoch noch nicht verstehe ist, wie man von ∑xi*yi zu xTy kommt.
Wie man xTy, also dann in dem Fall xTAx berechnet ist mir klar.
Sollte das zu viel sein/du es nicht wissen, dann mache ich dafür einfach nocheinmal eine eigene Frage.