Kurze Verständnisfrage zu Skalarprodukt, Norm

Question

Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und bis auf einer Stelle gelingt es mir auch, aber hier verstehe ich etwas noch nicht ganz:

$$ ‖x+y‖^2_2 = |〈x+y,x+y〉|$$

Hierbei handelt es sich um die quadrierte euklidische Norm.

Das ganze müsste folgenden Satz verwenden:

$$ 〈 ., .〉\text{ Skalarprodukt auf } \mathbb{R^n} \text{, so definiert ‖x‖ = } \sqrt{〈x,x〉} \text{  } x  \in \mathbb{R^n} \text{ eine Norm auf } \mathbb{R^n}$$

Ich verstehe jetzt dabei noch nicht so ganz, warum dies auch einfach für die euklidische Norm gilt, also warum

$$  ‖x‖_2 = \sqrt{〈x,x〉} $$

Warum gilt dies für alle Normen? Wird einfach jeweils das Skalarprodukt passend definiert?

Answer 1

Hallo

 man kann verschiedene Normen definieren, die ||..||₂ ist definiert mit der euklidischen Norm, und die mit dem üblichen Skalarprodukt im R^n  wobei <a,b>=∑a_i*_bi

oder habe ich deine Frage falsch verstanden.

wenn man ein Dkalarprodukt hat, kann man es zur Definition der Norm verwenden,

Gruß lul

Comments

Also um sicher zu gehen, dass ich es verstanden habe:Man hat irgendein Skalarprodukt auf Rⁿ  , mit Hilfe von dem von mir angegebenem Satz wird jetzt also irgendeine Norm definiert.Also gibt es irgendein Skalarprodukt, welches eine Norm für die L1 Norm definiert.Irgendein anderes Skalarprodukt, welches eine Norm für die L2 Norm definiert und so weiter.

Und in dem von mir gegebenen Beweisschritt wird dann einfach verwendet, dass es eben ein Skalarprodukt gibt, welches dies für die L2 Norm macht?

Wenn das soweit richtig ist, dann verstehe ich nur noch nicht, warum man

$$|x| = \sqrt{<x,x>} $$

schon verwenden kann, weil das ganze aus dem Beweis ist, dass die euklidische Norm auch wirklich eine Norm ist. Genauer ist es aus dem Beweis, dass die Dreiecksungleichung gilt.

Desweiteren hätte ich noch eine weitere kurze Frage zur positiv definitheit von Matrizen/dem Skalarprodukt.

Ich habe eine Definition, die unter anderem aussagt, dass eine symmetrische Matrix A genau dann positiv definit ist, wenn <x,Ax> > 0 für alle x aus Rⁿ ohne die 0.

Viel mehr habe ich dazu leider nicht und auch kein Beispiel der Anwendung.

Auf wikipedia steht, dass eine Matrix genau dann positiv definit ist, wenn dies für

x^T Ax

gilt. Auf der Seite zum Standardskalarprodukt steht, dass <x,y> = ∑xi*yi = x^Ty.

Ich würde deswegen einfach mal davon ausgehen, dass auch im Skript vom Standardskalarprodukt die rede ist, leider steht da wie gesagt nichts genaueres zu.

Was ich hier jedoch noch nicht verstehe ist, wie man von ∑xi*yi zu x^Ty kommt.

Wie man x^Ty, also dann in dem Fall x^TAx berechnet ist mir klar.

Sollte das zu viel sein/du es nicht wissen, dann mache ich dafür einfach nocheinmal eine eigene Frage.

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Hallo,

jedes Skalarprodukt definiert eine Norm durch die Vorschrift \(\|x\|:= \sqrt{<x,x>}\). ABER nicht jede Norm kann auf diese Weise erzeugt werden.

Wenn man mit dem euklidischen Skalarprodukt definiert:

$$\|x\|_2:= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} $$

dann kann man die Eigenschaften des Skalarprodukts benutzen, um die Dreiecks-Ungleichung für die euklidische Norm zu beweisen - oder eben allgemein für eine beliebige Norm, die sich aus einem Skalarprodukt ergibt.

Gruß

---

Hallo

 wenn man Vektoren wie Matrizen behandelt kann man nur Zeilenvektoren mit Spaltenvektoren multiplizieren, das euklidische Skalarprodukt  <x,y> schreibt sich dann

x^T*y,  x^T ist x als Zeilenvektor.

Gruß lul