Vollständige Induktion.

Question

Folgende Aufgabe:

Es sei a ∈ ℝ mit 0 ≤ a ≤ 1. Zeigen Sie mit Vollständige Induktion dass folgende Ungleichung für alle natürlichen Zahlen gilt:

(1+a)ⁿ ≤ 1 + (2ⁿ-1) * a

Soweit bin ich:

Induktionsanfang

n=0

(1+a)⁰ ≤ 1 + (2^0-1) * a

1 ≤ 1

Induktionsschritt

n=n+1

(1+a)ⁿ⁺¹ ≤  1 + (2ⁿ⁺¹-1) * a

(1+a)ⁿ + (1+a) ≤ 2ⁿ⁺¹ * a - 1 * a +1

1 + (2ⁿ-1) * a * (1 * a) ≤ 2ⁿ⁺¹ * a - 1 * a +1

a² + 2ⁿ * a - 1 * a + 1 ≤ 2ⁿ⁺¹ * a - 1 * a +1            

Wie geht es jetzt weiter?   

Answer 1

Diese Zeile ist falscn:

(1+a)ⁿ + (1+a) ≤ 2ⁿ⁺¹ * a - 1 * a +1.

Es muss heißen

(1+a)ⁿ ·(1+a) ≤ 2ⁿ⁺¹ * a - 1 * a +1.

Jetzt muss die rechte Seite mit

(1 + (2ⁿ-1) * a)·(1+a) verglichen werden.

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