Polynome, Primzahlen, Beweis

Question

Hallo liebe Gesellschaft,

ich versuche schon das ganze Wochenende einen Induktionsbeweis durchzuführen komme aber nicht mehr weiter.
Die Angabe: Ist $$p$$  eine Primzahl, dann ist $$x^p -x = \prod_{z\in \mathbb{Z}_p} (x-z) \in \mathbb{Z}_p[x]$$

Ich hatte es mit Induktion versucht, bin allerdings auf keine Lösung gekommen. Kann mir hier vielleicht jemand helfen?

Liebe Grüße

Comments

... das ganze Wochenende einen Induktionsbeweis durchzuführen ...

Wieso Induktion? Was an dem Problem deutet darauf hin, dass Induktion auch nur im Entferntesten infrage kommt? Vielleicht probierst Du mal was anderes, bevor Du auch noch den Rest des Wochenendes damit verbloedelst?

Die angeschriebene Gleichung gilt genau dann, wenn alle \(x\in\mathbb{Z}_p\) Nullstellen von \(x^p-x\) sind.

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Wie siehst du das so schnell, dass das erfüllt ist wenn alle $$ x \in \mathbb{Z}_p$$ Nullstellen von $$x^p-x$$ sind? Bzw. wie kann ich das dann zeigen?

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Offenbar gilt die Aussage für p=2 und für p=3, aber zum Beispiel nicht für p=5. Habe ich irgendetwas übersehen oder fehlen noch Angaben zum Deutungsrahmen der zu zeigenden Aussage?

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Für p =5 wäre (x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10 x^4 + 35 x^3 - 50 x^2 + 24 x und da wir im Restklassenring modulo 5  sind, fallen alle Vielfachen von 5 weg da sie wieder 0 sind. Und es bleibt x^5 + 24x =x^5 -x. Also geht es doch mit Induktion?

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Vom Restklassenring modulo p hast du oben aber nichts erwähnt...

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Ich habe unter dem Produktzeichen geschrieben $$ z \in \mathbb{Z}_p$$

Bei uns an der Uni ist das das Zeichen für den Restklassenring modulo p. Es gibt wohl auch die Schreibweise $$\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}$$

Sorry für diese Unklarheiten, ich werde es nächstes mal auch noch formal dazu schreiben.

Bezüglich des Beweises kann mir niemand helfen?

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\(\ldots\in\mathbb{Z}_p[x]\) muss da natuerlich stehen ...

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Das steht doch auch am Ende der Gleichung in meinem ersten Post?

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Das steht jetzt da, weil ich es korrigiert habe. Nicht etwa, weil Du es schon von Anfang an richtig hingeschrieben haettest.

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Hast Du eigentlich inzwischen entschieden, was Du schon Hilfreiches zu der Aufgabe weisst? So was wie den kleinen Satz von Fermat oder dass man zu Nullstellen von Polynomen Linearfaktoren abspalten kann?