Beweis / Zahlentheorie / Primzahlen

Question

Aufgabe:

Sei d ∈ N,d ≥ 2. Sei p eine Primzahl.

Seien a_k ∈ N mit p2∣∣ak für d>k>0,p|a0 aber p^2 χa0.
Sei
P(X)=X^d+∑a_k⋅X^k: die summe Bereich von k=0,d−1

Zeigen Sie:
Es existiert kein x ∈ Q mit P(x)=0.

Problem/Ansatz:

wie kann man lösen?

kann jemand mir erklären

LG

Comments

p2∣∣ak

Wie ist p2 definiert?

Welche Bedeutung hat ||?

Answer 1

Ich nehme mal an, dass p2∣∣ak heißen soll \(p^2| a_k\).

Ich gehe ferner von \(d\geq 2\) aus.

Sei \(x=r/s\) mit ganzen Zahlen \(r,s\neq 0\) und \(P(x)=0\).

Wir setzen \(r\) und \(s\) als teilerfremd voraus,

\(x\) also als gekürzten Bruch.

\(P(x)=0\Rightarrow s^dP(x)=0\), also

\(r^d=-\sum_{k=0}^{d-1}s^{d-k}a_kr^k\equiv 0\) mod \(p\),

damit \(p|r\) und somit \(p^d|r^d\). Sukzessive liefert dies

\(p^2| s^{d-k}a_k\) für \(k=0,\cdots, d-1\).

Insbesondere \(p^2|s^da_0\Rightarrow p|s^d\Rightarrow p|s\)

im Widerspruch zur Teilerfremdheit von \(r\) und \(s\).

Comments

Vielen Dank.Aber warum r^d = 0 mod p?

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Weil die \(a_k\) alle durch p teilbar sind,

ist die Summe durch p teilbar.

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wenn p^2 teilt a_k , heißt auch, dass p a_k teilt oder nicht unbedingt.?

weil in der Aufgabestgellung steht p^2 teilt a_k und nicht p

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Ja. Natürlich :-)