Unabhängig von deiner Aufgabe 1 - ich werde ja nicht müde, euch das immmer und immer wieder zu predigen. Du hast die Parameterform ( PF ) einer Ebene und sollst sie umrechnen in die Koordinatenform ( KF ) In deinem Falle nehme ich
A = ( 1 | 0 | 0 ) ( 1a )
als Anfangs-Start-oder Ausgangspunkt der Ebene . Jetzt benötige ich noch zwei Basis-oder Richtungsvektoren.
u := B - A = ( - 2 | 1 | - 3 ) ( 1b )
v := C - A = ( - 1 | 3 | - 6 ) ( 1c )
Dann lautet deine PF
E ( r ; s ) := A + r u + s v = P | - A ( 2a )
Wir halten fest: Jede Ebene wird eindeutig durch drei Punkte bestimmt; hier A , B und C . Anmerkung; P sei ein beliebiger, unbestimmter Punkt
P € E = ( x | y | z ) ( 2b )
In ( 2a ) habe ich wie üblich die Umformung vermerkt.
r u + s v = P - A | X v ( 3a )
Beachte: Das Kreuzprodukt ( v X v ) eines Vektors mit sich selbst verschwindet.
r u X v = ( P - A ) X v | ° ( P - A ) ( 3b )
Dieser Kreis soll " Skalarprodukt " bedeuten; ich dachte den sieht man besser als den Punkt. Eine Erkenntnis, die man selbst Studenten vorenthält: Das Spatprodukt ist nämlich das Selbe in Grün wie die ===> Determinante aus drei Vektoren. Weil wenn du jetzt noch sagst, du sollst Spatprodukt lernen, darfst aber nix wissen über die Eigenschaften einer Determinante bzw. wie man sie ausrechnet ... da fehlen mir dann die Worte.
( a X b ) ° c = det ( a | b | c ) ( 4 )
Was ist das Kreuzprodukt; und was ist eine Determinante? Rein anschaulich mein ich.
Das Kreuzprodukt aus zwei Vdektoren ist nach Betrag und Orientierung die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms ( weil da der Sinus rein kommt. )
Und Determinante bzw. Spatprodukt ist ein Spatvolumen, weil über Skalarprodukt und Höhe des Spats der Faktor Kosinus ins Spiel kommt.
Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Zu Quader .
Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Zu Spat . Jetzt lautet ( 3b )
r det ( u | v | P - A ) = det ( P - A | v | P - A ) = 0 ( 5a )
Weil mit zu den wesentlichsten Eigenschaften einer Determinante gehört, dass sie verschwindet, wenn zwei Spalten bzw. Zeilen gleich sind. Denn dann liegen die drei Vektoren nur in einer Ebene ( " komplanar " ) und das von ihnen aufgespannte Volumen ist null. Dann muss aber auf der linken Seite von ( 5a )
r = 0 v det ( u | v | P - A ) = 0 ( 5b )
r muss aber nicht notwendig verschwinden, weil ja der Punkt P in ( 2b ) völlig beliebig war - Determinante ( 5b ) verschwindet.
an dieser ganzen Argumentation beschleicht mich immer ein leises Unbehagen, weil es auf mich wie Hokuspokus wirkt, der so oder auch ganz anders heraus kommen könnte. Ich fand immer, die allgemeinen Metoden der AGULA liefern das selbe Ergebnis viel logischer.
( 3a ) kann man auffassen als LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten r und s . Die Koeffizientenmatrix ( KM ) dieses LGS ist vom Format 3 X 2 und hat ===> Rang 2 - schlicht und ergreifend, weil du ja zwei Basisvektoren u und v hast. Dann ist aber die ===> erweitete KM QUADRATISCH vom Format 3 X 3 ; der Rang der erweiterten KM ist eben falls 2 - ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .
Weshalb hat sie auch Rang 2 ? Existenz der Lösung für r und s heißt doch nichts anderes, als dass sich der Vektor der rechten Seite ausdrücken lässt durch u und v .
Unser Musiklehrer Pauli, der sehr Teorie lastig war, pflegte zu sagen, wenn wir ihm dann auf der Blockflöte vorexerzieren mussten
" So. Das war die Teorie; und jetzt kommt die Praxis. "
" Welchen Notenwert hat der Pauli? Halbe Note; hohler Kopf mit Hals. "
Eine Determinante ist nichts als eine Tabelle, deren einträge du nur richtig füllen musst. siehe hierzu ( 1a-c;2b;5b )
| - 2 - 1 x - 1 |
det = | 1 3 y | = 0 ( 6a )
| - 3 - 6 z |
Regel von ===> Sarrus; Hauptdiagonalen Minus Nebendiagonalen
det = [ 1 * ( - 6 ) - 3 * ( - 3 ) ] ( x - 1 ) + [ ( - 1 ) * ( - 3 ) - ( - 2 ) * ( - 6 ) ] y + [ ( - 2 ) * 3 - ( - 1 ) * 1 ) ] z = 0 ( 6b )
3 ( x - 1 ) - 9 y - 5 z = 0 ( 6c )
3 x - 9 y - 5 z = 3 ( 6d )
Vorschlag zur Güte; in ( 6d ) mache ich immer die 3_Punkte_Probe auf A , B und C - das war ja die Voraussetzung. Damit ich dir heute zu später Stunde nicht nochwas falsches erzähle.
auf den vierten Punkt D hast du keinen Einfluss mehr; und? Klappt es?
