Es sei (X, d), X ≠ 0 ein metrischer Raum und xn und yn (beide n∈ℕ) Folgen in X.
Zu zeigen; es gibt ein a ∈ X, dass
lim xn=a=lim yn ⇒ lim d(xn,yn) = 0
Gilt auch das Umgekehrte?
meine Gedanke dazu;
lim xn=a ⇒ lim d(xn,a) = 0
∀ε>0 n≥N : d(xn,a) < ε/2
(das analoge gilt natürlich auch für yn und sagen wir N`)
=> M = max(N,N`)
d(xM,a) ≤ d(xn,a) + d(a,yn) < ε (da d(xn,a) und d(a,yn) < ∈
-> lim d(xM,a) = 0
--------------------------------------
Meine Fragen;
1. Stimmt das in etwa?
2. Wie kriege ich nun den Weg von lim d(xM,a) = 0 zu lim d(xn,yn) = 0 hin?
3. Die Umkehrung ist meiner Meinung ja gültig, da eine Metrik nicht negativ sein kann. Wie beweise ich das aber?
Danke für eure Hilfe,
Tulbih