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Es sei (X, d), X ≠ 0 ein metrischer Raum und xn und yn (beide n∈ℕ) Folgen in X.

Zu zeigen; es gibt ein a ∈ X, dass

lim xn=a=lim yn lim d(xn,yn) = 0

Gilt auch das Umgekehrte?

                                               

meine Gedanke dazu;

lim xn=a ⇒ lim d(xn,a) = 0

∀ε>0 n≥N : d(xn,a) < ε/2 

(das analoge gilt natürlich auch für yn und sagen wir N`)

=> M = max(N,N`)

d(xM,a)  ≤ d(xn,a) + d(a,yn) < ε (da d(xn,a) und d(a,yn) < ∈

-> lim d(xM,a) = 0

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Meine Fragen;

1. Stimmt das in etwa?

2. Wie kriege ich nun den Weg von lim d(xM,a) = 0 zu lim d(xn,yn) = 0 hin?

3. Die Umkehrung ist meiner Meinung ja gültig, da eine Metrik nicht negativ sein kann. Wie beweise ich das aber?

 

Danke für eure Hilfe,

Tulbih

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1 Antwort

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Beste Antwort
Du hast ja \(d(x_n, a)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\) und \(d(y_n, a)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\).

Also gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der Symmetrie der Metrik:

\(0\leq d(x_n,y_n)\leq d(x_n,a)+d(a,y_n)=d(x_n,a)+d(y_n,a)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0+0=0\)

Also ist \(\lim_{n\to\infty}d(x_n, y_n)=0.\)
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Hallo Nick!

Danke vielmals für deine Antwort.

Für die Umkehrung habe ich mir folgendes überlegt:

------------

Gegenbeispiel;

d(xn,a) = 1, d(a,yn)= -1

lim d(xn,a) + lim d(a,yn) = 0 ABER

d(xn,a) ≠ d(a,yn), lim d(xn,a) ≠ lim d(a,yn) und somit auch lim xn= a1≠ a2 = lim yn

 

Oder mache ich hier einen Denkfehler?

So ganz verstehe ich dein Beispiel nicht. Wenn \(d(x_n, a)=1\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) ist, dann konvergiert die Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) gar nicht.

Du könntest es z:B. so machen:

\(X=\mathbb{N}, d(x,y)=|x-y|\) (Euklidische Norm). \(x_n:=n, y_n:=n.\) Dann gilt: \(\lim_{n\to\infty}d(x_n, y_n)=\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|=\lim_{n\to\infty}|n-n|=\lim_{n\to\infty}0=0.\)

Aber trotzdem gibt es kein \(a\in X=\mathbb{N}\), so dass \(\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=a\), denn \(x_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty, y_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty.\) Also ist die Umkehrung (im Allgemeinen) falsch.
Hallo Nick

Sehr gutes Beispiel, danke für das!
Eine kleine Frage ist mir dazu auchnoch aufgekommen.

Warum ist a = ∞ hier nicht zulässi der Grenzwert ist ja eigentlich derselbe...
Eigentlich gibt es ja da gar keinen Grenzwert. Man sagt, die Folgen divergieren bestimmt. Jedenfalls ist \(\infty\) kein Grenzwert.

Ein anderes Problem?

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