SNCF-Metrik: Abstandsfunktion zeigen.

Question

Sei p ∈ ℝⁿ ein fester Punkt. Für v,w ∈ ℝⁿ setze man:

d(v,w):=     ||v-w|| falls v − p und w −p linear abhängig sind,

                  ||v-p|| + ||w-p|| sonst

Zeigen Sie, dass d eine Abstandsfunktion ist. Zeigen Sie außerdem, dass im Fall n = 1, d mit dem gewöhnlichen Abstand auf ℝ zusammenfällt.

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Habe Probleme beim Lösen der Aufgabe. Wie zeige ich dass d eine Abstandsfunktion ist? Ist mit ||v-w|| die euklidische Norm gemeint? Wäre für jede Hilfe zum Lösen dankbar.

Answer 1

d(v,w):=     ||v-w|| falls v − p und w −p linear abhängig sind,

                  ||v-p|| + ||w-p|| sonst

 Ist mit ||v-w|| die euklidische Norm gemeint?  Ja.

Du musst nur die Eigenschaften einer Abstandsfunktion (Metrik)

nachweisen.

1. für alle v,w ∈  ℝ^n   d(v,w) ≥ 0

Ist klar, da es für ||......|| gilt.

2. Symmetrie     d(v,w) = d(w,v)

falls v − p und w −p linear abhängig sind,   ||v-w||=  ||w-v||

sonst   ||v-p|| + ||w-p|| =     ||w-p||  + ||v-p||

gilt also auch

3.     d(v,w) ≤  d(v,u)  +  d(u,w)   (Dreiecksungl.)

Da muss man wohl Fälle unterscheiden:

1. Fall v-p und w-p und u-p linear abhängig

(also alle drei Punkte liegen auf einer Geraden) , dann

d(v,w)=     ||v-w|| = ||v-u+u-w||   (wegen der "normalen" Dr.ungl.)

≤||v-u||+||u-w|| = ||v-u||+||w-u|| =d(v,u)+d(u,w) .

2. Fall v − p und u−p  sind linear abhängig aber v − p und w −p  nicht.

           (also  u − p und w −p auch  nicht)

  d(v,w) =   ||v -p|| + ||w-p||

            =   ||v -u+u-p|| + ||w-p||

            ≤    ||v-u|| + ||u-p|| + ||w-p||  = d(v,u) + d(u,w)

etc.