Abstandsfunktion ist stetig

Question

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Vielen Dank!:)

Zeigen Sie, dass die Abstandsfunktion
d_A : V → R : x ↦ d(x, A)
für jede feste, nicht-leere Teilmenge A ⊆ V stetig ist.
Tipp: Nutze die umgekehrte Dreiecksungleichung um Lipschitzstetigkeit zu zeigen.

Comments

Was sagt denn die umgekehrte Dreiecks Ungleichung?

Answer 1

Ich denke die Abstandsfunktion ist so definiert

$$d_A(x) = \inf_{a \in A} \|x - a\|$$ Jetzt gilt weiter

$$\| x - a \| = \|x - a - y + y \| \le \| x - y\| + \| y - a \|$$ Daraus ergibt sich

$$d_A(x) = \inf_{a \in A} \| x - a \| \le \| x - y\| + \inf_{a \in A} \|y - a\| = \| x - y \| + d_A(y)$$

Also $$d_A(x) - d_A(y) \le \| x - y\|$$

Genauso zeigt man $$d_A(y) - d_A(x) \le \| x - y \|$$

Alos insgesamt $$\big| d_A(x) - d_A(y) \big| \le \| x - y\|$$

Damit ist $d_A(x)$ lipschitzstetig und damit stetig.