Gerade teilt Fläche in zwei gleichgroße Teilflächen

Question

ich habe Probleme bei folgender Abituraufgabe vom letzten Jahr:

Gegeben ist eine Funktion f(x) = x^3-8x^2+16x

Fläche zwischen Graph und x-Achse: 64/3 FE

Nun zur eigentlichen Aufgabe:

Durch die Punkte P(r/0) mit 0<r<4 und Q(1/f(1)) verläuft eine Gerade. Diese Gerade teilt die Fläche H in zwei gleichgroße Teilflächen. Bestimmen Sie den Wert r für diesen Fall.

Hat jemand eine Idee für einen Ansatz? Ich bin wirklich überfragt.

Answer 1

f(1)=9. Zunächst mal die Gleichung der Geraden bestimmen. Zwei-Punkte-Form nach y aufgelöst:g(x)=9(x-r)/(1-r). Dann 2 Integrale bestimmen 1.) von r bis 4 unter f(x)  2.) von 1 bis r unter f(x)-g(x). Dann r so bestimmen, dass die Summe dieser Integrale 32/3 ist.

Answer 2

Hallo minapon,

Berechne zunächst die beiden Teilflächen

$$A_1 = \int_0^1 f(x) \, \text{d}x \quad A_2 = \int_1^4 f(x) \, \text{d}x$$

Die Punkte \(P=(r;0)\), \(Q=(1;f(1)) = (1;9)\) und \(R=(1;0)\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt \(A_D=\frac92 (r-1)\). Damit die Gerade durch \(Q\) und \(P\) die Fläche \(H\) zwischen \(0\) und \(4\) halbiert, muss gelten

$$A_1 + A_D = A_2 - A_D \quad \Rightarrow A_D = \frac12(A_2 - A_1)$$

bzw. $$r = \frac19(A_2 - A_1) + 1 = \frac19 \left( \frac{63}{4} - \frac{67}{12} \right) + 1= \frac{115}{54} \approx 2,13$$

~plot~ x^3-8x^2+16x;[[-2|10|-2|12]];{1|9};(-9/1.13)(x-1)+9 ~plot~

Comments

Danke, woher ergeben sich die Intervallgrenzen?

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Hallo minapon,

woher ergeben sich die Intervallgrenzen?

In der Aufgabenstellung heißt es:

Fläche zwischen Graph und x-Achse: 64/3 FE ... Diese Gerade teilt die Fläche H in zwei gleichgroße Teilflächen.

rein grammatikalisch muss es sich um die selbe Fläche handeln, und da diese zwischen Graph und X-Achse liegen soll, kommen als Intervallgrenzen die beiden Koordinaten in Frage, bei denen \(f(x)=0\) ist - also \([0;4]\). Und die \(1\) ergibt sich aus dem ebenso gegebenen Punkt \(Q(1;f(1))\).

Gruß Werner

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Hallo Werner,
etwas einfach
A1 = 67/12
die Fläche des rechtwinlkigen
Gesuchte Fläche soll 64/6 betragen
64/6 - 67/12 = 5.083
Dreieck
5.083 = 9 * x / 2
x = 1.13
insgesamt : 1.13 + 1 = 2.13