Ungleichung beweisen: (a+b)/2 ≤ √(a²+b²)/2 ≤ h

Question

Zeigen Sie für a, b ∈ ℝ mit 0 ≤ a ≤ b :

(a+b)/2 ≤ √(a²+b²)/2 ≤ h

kann mir einer zeigen wie ich das beweisen soll?

Wenn ich die linke Seite quadriere und rechts die Wurzel in den Zähler und in den Nenner ziehe, stimmt 0 ≤ a ≤ b beim Einsetzen von Zahlen.

Answer 1

Ist wohl so : (Bei dir fehlen ein paar Klammern)

(a+b) / 2  ≤   √ (   ( a^2 + b^2 ) / 2  )

Da alles nicht negativ ist, kannst du quadrieren:

<=>   ( a+b) ^2 / 4    ≤    ( a^2 + b^2 ) / 2     | *4

<=>   ( a+b) ^2    ≤      2 * ( a^2 + b^2 )

<=>   a^2 +  2ab + b^2 ≤   2* a^2 + 2* b^2

<=>   2ab  ≤   a^2 + b^2

<=>  0  ≤   a^2   -  2ab + b^2

<=>  0  ≤   ( a - b) ^2

Und wenn man etwas quadriert, ist es ja immer ≥ 0.

q.e.d.