Nullstellen bestimmen, Gleichungen mit 2 Parameter

Question

Wie bestimme ich von

f(x)= 2x* (x^2-a^2) die Nullstelle?

Mein Ansatz:

f(x)=0

0= 2x

x1,2=0 => doppelte Nullstelle

0= x^2-a^2 /+a^2

a^2=x^2 / Wurzelziehen

x3= √a^2

x4= -√a^2

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a^2 = x^2

Noch ein bißchen vereinfachen

x = a
x = -a

Answer 1

y = 2x* (x^2-a^2)     | 3. Binom

= 2(x-0) (x-a)(x+a)   

Nullstellen: x_1 = 0, x_2 = a, x_3 = -a , falls a ≠ 0 | Alle Klammern sind "hoch 1". Daher keine Mehrfachnullstelle.

Falls a=0: Dreifache Nullstelle x = 0.

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Mein Taschenrechner zeigt mir in der Grafik an, dass a=1 und a=-1 ist.

Woher weiß er das?

a kann als konstanter Faktor doch alle Werte annehmen?

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Mein Taschenrechner zeigt mir in der Grafik an, dass a=1 und a=-1 ist.

Das kann dein Taschenrechner nicht wissen. Es ist wohl eher eine Annahme, damit er bei x Zahlen ausrechnen kann. Hast du denn = 0 eingegeben?

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Nein, aber habe es gerade probiert.

Dann verschwindet er gänzlich vom Bildschirm.

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Das sind ein paar Kurven der Schar:

~plot~ 2x* (x^{2}-0^{2});2x* (x^{2}-1^{2});[[-5|5|-20|20]];2x* (x^{2}-2^{2});2x* (x^{2}-4^{2});2x* (x^{2}-(-0.5)^{2}) ~plot~

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Ich habe gerade entdeckt, dass mir selbst zur Auswahl stand einen Wert für den Parameter a auszuwählen.

Vorhin stand dort 1.

Kann das aber jetzt von alleine einstellen und mir werden unterschiedliche Kurven angezeigt.

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Bestens. Dann ist das ja geklärt.

Answer 2

f(x)= 2x* (x^2-a^2) =0

Satz vom Nullprodukt:

a) 2x=0--> x₁=0 ->keine doppelte Nullstelle.

b)x^2-a^2 =0

x^2  =a^2

x_2.3= ± √ a^2

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Mein Taschenrechner zeigt mir in der Grafik an, dass a=1 und a=-1 ist.

Woher weiß er das?

a kann als konstanter Faktor doch alle Werte annehmen?