Wie berechne ich den Schnittpunkt der 2 Exponentialfunktionen in meiner Skizze?

Question

 

wie soll ich den schnittpunkt ausrechnen ?

bitte schnelle antwort + rechenweg 

danke :)

Answer 1

funktionsgleichungen in einer gleichung gleichsetzen, gleichung logarithmieren, nach x auflösen.

Comments

aber wie kann ich aus dem koordinatens. das ich gezeichnet hab die gleichung  rauskriegen ?

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Du kennst auf jedem der beiden Graphen nur die beiden gezeichneten Punkte?

Für beide Ansatz
y=a*e^{bx}         oder a = a*b^x          je nach dem, wie ihr diese Funktionen genau definiert habt.

Beide Punkte einsetzen und a und b berechnen.

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wenn ich 2 punkte habe und zwar (2,4) und (3,1) wie setze ich das dann bei a=a*bhochx ein ?

Answer 2

Wie immer: Funktionsterme gleichsetzen und nach  auflösen.

Beispiel:

f ( x ) = 3 e ^x

g ( x ) = 5 e ^{5  x}

 

f ( x ) = g ( x )

<=> 3 e ^x =  5 e ^5 - x 

<=> e ^x / e ^{5 - x}  = 5 / 3

<=> e ^x * e ^{x - 5}  = 5 / 3

<=> e ^{2 x - 5}  = 5 / 3

<=> 2 x - 5 = ln ( 5 / 3 )

<=> x = ( ln ( 5 / 3 ) + 5 ) / 2 = 2,755...

 

Hier die Schaubilder der beiden Funktionen f und g:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3e%5Ex+%2C+5+e%5E%285-x%29from1to5

Answer 3

Allgemeine Form:

\(y=a\cdot  e^{b\cdot x} \)

A\((-1|5)\):

1.) \(5=a\cdot e^{b\cdot (-1)} =a\cdot e^{-b}\)

B\((3|1)\):

2.) \(1=a\cdot e^{3b}\)

1.) \(5e^{b}=a \)  in   2.) \(1=a\cdot e^{3b}\) einsetzen:  2.)   \(1=5e^{b}\cdot e^{3b}=5e^{4b}\)

\( e^{4b}=\frac{1}{5}\)

\( 4b=\ln(\frac{1}{5})=-\ln(5)\)    mit \( \ln(e)=1\)

\( b=-\frac{\ln(5)}{4}=-\ln(5^{\frac{1}{4}})\)

1.) \(5 =a\cdot e^{\ln(5^{\frac{1}{4}})}=a\cdot 5^{\frac{1}{4}}\)

\(a=\frac{5^1}{5^{\frac{1}{4}}}=5^1\cdot 5^{-\frac{1}{4}}=5^{\frac{3}{4}}\)

\(y=5^{\frac{3}{4}}\cdot e^{-\ln(5^{\frac{1}{4}})\cdot x} \)

Analog nun mit dem 2.Graphen.

Comments

bitte schnelle antwort

Dieses Anliegen des Fragestellers hast Du aber gründlich ignoriert ;-)

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Der Fragesteller hat schon 2013 seine Antwort von JotEs an einem anderen Zahlenbeispiel erhalten. Mir kam es auf den Lösungsweg zum gegebenen Graphen an.

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Mir kam es auf den Lösungsweg zum gegebenen Graphen an.

Und für diese \(\cancel{Selbstbefr}\) Selbstbestätigung mussten so viele unschuldige Elektronen sterben und Serverkühlungs-Treibhausgase emittiert werden?

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Die sind weder unschuldig noch können sie sterben. Meine ich. Weil sie nicht leben. Aber ich habe sie nicht gefragt. Ich wünsche Dir einen güldenen Abakus unter dem Baum, und zwar einen der quadratische Ergänzung kann. Oder was immer.

Answer 4

Die beiden Exponentialfunktionen kann man ohne weitere schwere Rechnung durch Ablesen zweier Punkte aufstellen.

Exponentialfunktion durch (-2 | 1) und (2 | 4)
f(x) = 1·4^(1/4·(x + 2))

Exponentialfunktion durch (-1 | 5) und (3 | 1)
g(x) = 5·(1/5)^(1/4·(x + 1))

Zur Schnittpunktbestimmung setzt man diese gleich

Schnittpunkt f(x) = g(x)
1·4^(1/4·(x + 2)) = 5·(1/5)^(1/4·(x + 1)) → x = LN(125/16)/LN(20) = 0.6862

Jetzt noch y-Koordinate durch einsetzen bestimmen

f(LN(125/16)/LN(20)) = 4·√2·e^(- 5·LN(2)^2/LN(20)) = 2.537
g(LN(125/16)/LN(20)) = 4·√2·e^(- 5·LN(2)^2/LN(20)) = 2.537

Der Schnittpunkt liegt also bei ca. (0.6862 | 2.537).

Skizze:

~plot~ 1·4^(1/4·(x+2));5·(1/5)^(1/4·(x+1));{-2|1};{2|4};{-1|5};{3|1};{0.6862|2.537};[[-3|4|-1|6]] ~plot~

Comments

ohne weitere schwere Rechnung

Ob jemand (insbesondere SuS), der / die diese Frage stellt, aus Deiner Zahlen-Darstellung leicht den Lösungsweg herausdestillieren kann, bezweifle ich.

Deshalb hier für alle Nach-Lesenden die Formel: Eine Exponentialfunktion durch die Punkte (p,q) und (u,v) (q,v>0) hat die Darstellung:

$$f(x)=q\left(\frac{v}{q}\right)^{\frac{x-p}{u-p}}$$

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Da du dem Frager offenbar gewisse Fähigkeiten absprichst, solltest du vielleicht noch u≠p hinzufügen.

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Vielen Dank für die sinnvolle Ergänzung. Ich habe mir erlaubt, den Exponenten an meine Darstellung (Vertauschung von Minuend und Subtrahend) anzupassen.

Weiterhin erlaube ich mir mal hier die Zwei-Punkte-Form einer linearen Funktion (in ähnlicher Schreibweise) zu notieren.

$$f(x) = q+(v-q) \cdot \left( \frac{x-p}{u-p} \right)$$

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Vielen Dank für die sinnvolle Ergänzung.

Ein Umherschmeißen mit irgendwelchen Formeln, die so vermutlich auch gar nicht im Unterricht auftauchen, ist nicht wirklich sinnvoll. Sinnvoll ist es, die Vorgehensweise zu lernen und damit Verständnis aufzubauen. Ein Auswendiglernen solcher Formeln ist überhaupt nicht erforderlich.

Stattdessen gilt für jeden Funktionstypen, dass Punkte des Graphen die Funktionsgleichung erfüllen müssen. Damit erhält man grundsätzlich den Ansatz

\(y_0=f(x_0)\)

für jeden vorgegebenen Punkt \((x_0|y_0)\).

Im Fall einer Exponentialfunktion (mit \(x\)-Achse als Asymptote) hat man also den Ansatz

\(y_0=ca^{x_0}\) oder \(y_0=c\mathrm{e}^{x_0}\),

wenn man lieber mit der \(\mathrm{e}\)-Funktion arbeitet.

Bei zwei Unbekannten reichen also zwei Punkte, um ggf. eine geeignete Funktionsgleichung aufstellen zu können.

Zur Lösung des Gleichungssystems bietet es sich dann bspw. an, die beiden Gleichungen zu dividieren.

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Ein Umherschmeißen mit irgendwelchen Formeln, die so vermutlich auch gar nicht im Unterricht auftauchen, ist nicht wirklich sinnvoll.

ich sehe das anders. Die Formeln ergeben sich aus dem sinnvollen Einsatz von Parametern.

Da Schüler das Verhalten von Parametern a, b, c und d in

y = a·f(b·(x + c)) + d

kennen sollten, ist gerade der Einsatz in diesem Zusammenhang extrem sinnvoll, wenn man sich Arbeit sparen möchte.

Schüler sollten auch lernen, dass der Einsatz der Parameter nicht nur auf die trigonometrischen Funktionen beschränkt bleiben muss, sondern generell bei jeder Funktionsklasse eingesetzt werden kann.

Spezielle Formeln, wie die Scheitelpunktform einer Parabel, gehören unter anderem dazu und gehören auch zum notwendigen Schülerwissen.