An diesem Dings werde ich also mehrere Umnormierungen vornehmen; ich führe erst mal eine neue Unbekannte ein:
m := x / a ( 1a )
Und deine quadratische Gleichung ( QG ) notiere ich in primitiver Form ( PF ) ich sag gleich nochwas dazu.
3 x ² - 16 a x + 16 a ² = 0 | : a ² ( 1b )
f ( m ) = a2 m ² + a1 m + a0 = 0 ( 2a )
a2 = 3 ; a1 = ( - 16 ) ; a0 = 16 ( 2b )
Wie versprochen ist ( 2ab ) eine Parameter freie PF . Wo kommt das eigentlich anschaulich geometrisch her?
Der Kenner weiß: ( 1b ) ist eine ===> homogene quadratische Form ( HQF ) in den beiden Variablen x und a viel anschaulicher wäre es nämlich, y zu sagen statt a . Und wenn auf der rechten Seite von ( 1b ) nicht Null steht, somdern eine ( positive oder negative ) Konstante, dann bekommst du den Plot eines speziellen ===> Kegelschnitts; nämlich ( die beiden Äste ) einer ===> Hyperbel.
Und wenn nun rechts Null steht so wie in ( 1b ) , dann kann man beweisen, dass es sich um zwei Geradengleichungen handelt, nämlich die beiden ===> Asymptoten der Hyperbel. Indem ich also durch a dividiere bzw. y , bekomme ich eine Bedingung für die Steigungsmaße m1;2 der beiden Asymptoten.
( 2ab ) lösen wir nicht durch die Mitternachtsformel, sondern über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Zunächst wieder meine Polemik; Wikis Behauptung, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt immerhin die größte Fälschung dar in der Matematikgeschichte. Die Autoren Artin und v.d. Waerden, beide 1930 und Urgestein der Algebra, wissen überhaupt nichts von einem SRN ... Fühl deinem Lehrer auf den Zahn; der kennt diese Schmöker. Schließlich hat der ja gstudiert.
Das wahrscheinliche Entdeckungsjahr: 1975; Entdecker unbekannt ...
Du siehst; Mathe muss gar nicht so dröge und unspannend sein.
Noch in jener Woche im Jahr 2011, als ich aus dem Internet vom SRN erfuhr, entdeckte und bewies ich folgenden
ZERLEGUNGSSATZ
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Gegeben ein primitives Polynom analog ( 2ab ) Seine beiden Wurzeln
m1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 3a )
seien wie üblich als gekürzt voraus gesetzt. Dann gelten die beiden Habakuk pq-Formeln
p1 p2 = a0 = 16 ( 3b )
q1 q2 = a2 = 3 ( 3c )
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Wiki ( und andere ) wissen wie gesagt von diesem Teorem nichts. Und dies nun ist eines der Grundmerkmale jeder Fälschung. Es kann nicht sein, dass in 200 Jahren seit Gauß ' ( angeblicher ) Entdeckung niemand auf jenen Zusammenhang gestoßen ist, den ich innerhalb einer Woche entdeckt habe.
( 3b ) sieht nicht gerade sehr verheißungsvoll aus. Rein kombinatorisch ergeben sich 5 Zerlegungen, wie wir die 16 = 2 ^ 4 auf die Ganzen und die Drittel verteilen. Vor mir hat sich aber auch noch niemand gefragt, was ggt p1;2 seinkönnte.
Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von Vieta
m | p1;2 <===> m | a1 ; m ² | a0 ( 4a )
Ein m, das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 2a ) heißen - " K " wie " Koeffizient " Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt - in unserem Falle offenbar 4 . Die Behauptung in ( 2a )
ggt p1;2 = gkt ( f ) ( 4b )
Kann man auch ein Polynom durch seinen gkt kürzen analog einem Bruch und seinem ggt? Das gelingt mittels folgender Substitution
M := m * gkt ( f ) = 4 m ( 5a )
( 5a ) einsetzen in ( 2ab )
3 ( 4 M ) ² - 4 * 4 ( 4 M ) + 4 ² = ( 5b )
= 4 ² ( 3 M ² - 4 M + 1 ) = 0 ( 5c )
Die einzige mit unserem Lehrsatz ( 3bc ) verträgliche Lösung von ( 5c ) ist jetzt
M1 = 1/3 ; M2 = 1 ( 6 )
Halt Stop; noch sind wir nicht fertig. Eine Zweideutigkeit im Vorzeichen bleibt noch; in ( 3b ) gibt schließlich " Minus Mal Minus " auch Plus. Für solche Zwecke wurde die cartesische Vorzeichenregel erfunden
" Zwei Mal Plus "
0 < M1 < = M2 ( 7 )
Aber noch haben wir unseren ursprünglichen Ansatz überhaupt nicht gerechtfertigt, die Lösungen seien rational. Dem aufmerksamen Beobachter wird nicht entgangen sein, dass wir bisher mit dem Koeffiziennten a1 noch gar nichts gemachrt haben. Hinreichende Bedingung ist erst Vieta p; ( 5c ) in Normalform
M ² - p M + q = 0 ( 8a )
p = 4/3 ; q = 1/3 ( 8b )
p = M1 + M2 ; ok ( 8c )
Und jetzt Rolle rückwärts
m1 = 4/3 ; m2 = 4 ( 9a )
x1 = 4/3 a ; x2 = 4 a ( 9b )
