Halbwertszeit: Zerfallskonstante λ berechnen

Question

Hi, könnte mir jemand bitte erklären, wie ich die Zerfallskonstante λ berechne? Danke.

Die Angabe lautet:

"Zum Zeitpunkt t₀ (t in Jahren) werden 100 mg einer radioaktiven Substanz gemessen. Drei Jahre später sind nur noch 50 mg (also die Hälfte der Anfangsmenge) vorhanden. Aufgabenstellung: Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an!"

☼ Die Zerfallskonstante λ ist - 0,23.
☼ Nach insgesamt sechs Jahren werden noch ca. 25 mg vorhanden sein.
☼ Nach weiteren drei Jahren, also insgesamt sechs Jahren, wird es keine Spuren dieser radioaktiven Substanz mehr geben.
☼ Die Zerfallskonstante λ ist 0,32.
☼ Die Substanz nimmt um ca. 21% pro Jahr ab.

Ich kenne nur dieses Zerfallsgesetz: N(t) = N₀ · 0,97^t

Was ich aus der Angabe schließe...

^{→ t₀} = 100 mg

^→ nach drei Jahren, also t₃ = 50 mg

N(t) = 100 · keine Ahnung ³  vielleicht?

Answer 1

Hallo vxsual,

"Zum Zeitpunkt t₀ (t in Jahren) werden 100 mg einer radioaktiven Substanz gemessen. Drei Jahre später sind nur noch 50 mg (also die Hälfte der Anfangsmenge) vorhanden.

Ich bevorzuge folgende Darstellung:

N(t)=N₀*(1/2)^{t/T_1/2}

Aber es gibt glaube ich auch:

N(t)=N₀*e^{-λ*t}

50=100*e^{-λ*3}    | :100

0.5=e^{-λ*3}    | ln

ln(0.5)=ln(e)*(-λ)*3    | ln(e)

ln(0.5)/ln(e)=-λ*3   |:3

-λ=(ln(0.5)/ln(e))/3   |*(-1)

λ=-(ln(0.5)/ln(e))/3

λ≈-0.231049

Check!

Nach insgesamt sechs Jahren werden noch ca. 25 mg vorhanden sein.

N(t)=100*e^{-0.231049*6}

N(t)=25mg

Check!

Die Substanz nimmt um ca. 21% pro Jahr ab.

1-e^{-0.231049*1}=0.2062994262

Check!

☼ Nach weiteren drei Jahren, also insgesamt sechs Jahren, wird es keine Spuren dieser radioaktiven Substanz mehr geben.
☼ Die Zerfallskonstante λ ist 0,32.

Beides falsch.

Comments

Oh okay, also hätte mir nur das Euler'sche e gefehlt und mein Funktionsterm wäre korrekt gewesen? Umformen kann ich... vielen lieben Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!! :-))

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Wenn das dein Versuch war:

N(t) = N_(0)· 0,97^{t}

Dann hättest du die 0.97 durch die Euler'sche Zahl ersetzen müssen und vor das "t" ein "-λ" schreiben müssen, dann wäre es korrekt gewesen.

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Mein erbärmlicher Versuch war: N(t) = 100 · keine Ahnung³ ... also habe ich "-λ" und die Euler'sche Zahl einfügen müssen... hahaha. :'-))

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Hmm, das kenn ich. Ich glaube, dass ich mir am Tag mindestens drei Mal:

"keine Ahnung^3" denke. Ich stelle dann auch meine Fragen hier ins Forum :)

"Gebildet ist, wer weiß, wo er findet, was er nicht weiß."

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λ=-(ln(0.5)/ln(e))/3     (richtig)

λ ≈ - 0.231049            (falsch)  

ln(0,5) ist negativ

Es muss also  λ = 0.231049  heißen (und die Zerfallskonstante wird auch tatsächlich positiv angegeben)

sonst hätte man in  N(t)=N0*e^-λ*t  keinen Zerfall

https://de.wikipedia.org/wiki/Zerfallsgesetz

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Wolfgang the Wisecrack! :)

Stimmt aber, wenn N(t)=N0*e^{-λ*t} gilt, dann wäre -λ in der Formel -(-λ)=λ. Aber ich denke, dass selbst die Leute, die die Frage gestellt haben, daran nicht dachten.

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Wow, I'm shook!! Tja, ihr beide seid halt echte Mathe Genies!! Der Mathe- und Physiklehrer, der daran beteiligt ist, Maturaaufgaben zu erstellen, hat wohl nicht daran gedacht. Shame on him. Nein, kann passieren... aber ich bin heute um 99,99% weiser geworden!!! Danke euch ;)

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Wäre echt nice, wenn man Kommentar liken könnt'. Fühlt euch geliked, lol.

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Aber ich denke, dass selbst die Leute, die die Frage gestellt haben, daran nicht dachten.
....
☼ Die Zerfallskonstante λ ist - 0,23.

Da könntest du recht haben.

Könnte natürlich auch eine Falle sein :-)

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Wahrscheinlich eine Falle, haha... und da hätten wir wieder das typische Image eines leicht sadistischen Mathematiklehrers. x'D *cry me a river*

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Durch solche fiesen Tricks lernt man jedoch am besten. Oder man hat einen Wolfgang der gaaaaaanz genau hinsieht. Ich werde das erstmal nicht vergessen. Genauso wie, dass wenn man eine Scheitelpunktform hat, man ganz einfach die Nullstellen errechnen kann.

Edit:

Ich hätte gerne einen Mathelerer, der nicht nur irgendwelche PDFs ausm Internet 10min vor der Stunde ausdruckt.

Answer 2

Gehen wir einmal nach dem Lehrbuch vor
Zerfallsfunktion mit e als Basis
N(t) = N0 · e ^{-lamda*t}
Was ich aus der Angabe schließe...
→ t0 = 100 mg
Nicht t0 = 100 mg sondern N0 = 100 mg
→ nach drei Jahren, also t3 = 50 mg
Nicht t3 = 50 mg sondern N ( 3 ) = 50 mg

Einsetzen
N(t) = N0 * e ^{-lambda*t}
N ( 3 ) = 100 * e ^{-lambda*3} = 50
e ^{-lambda*3} = 50 / 100 | ln
ln ( e ^{-lambda*3} ) = ln ( 0.5 )
3 * -lambda = ln ( 0.5 )
-lambda = -0.231
λ = 0.231

☼ Die Zerfallskonstante λ ist - 0,23.
falsch

☼ Nach insgesamt sechs Jahren werden noch ca. 25 mg vorhanden sein.
Richtig.
man kann jetzt so oder rechnen.
Am einfachsten
Wenn nach 3 Jahren nur noch die Hälfte
der Ursprungsmenge vorhanden ist ( Halbwertzeit
3 jahre ), dann ist nach 6 Jahren nur noch 1/4
vorhanden.  ( 25 mg )

☼ Nach weiteren drei Jahren, also insgesamt sechs Jahren, wird es keine Spuren dieser radioaktiven Substanz mehr geben.
Falsch
Die Zerfallsfunktion erreicht nie null

☼ Die Zerfallskonstante λ ist 0,32.
Falsch

☼ Die Substanz nimmt um ca. 21% pro Jahr ab.
Richtig
Ausgehend von
N ( t ) = N0 * e ^{lambda*t}
bei t = 0
e ^{lambda*0} = 1
bei t = 1
e ^{lambda*1} = 0.794
79.4 % sind noch vorhanden
21 % Abnahme

Deine eigene 1.Antwort
N(t) = N0· 0,97 ^t
Wie kommst du darauf ?
Bei Interesse kann weiter debattiert werden.

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung, das schätze ich sehr :-)) Wie ich zu meiner Antwort komme? Davor stand dieses Zerfallsgesetz für radioaktive Substanzen in meinem Buch... und ich dachte mir vielleicht hat das ja einen Zusammenhang mit diesem Beispiel...aber nein, hatte es nicht.

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N ( t ) = N0 * e ^lambda*t
bei t = 0
e ^lambda*0 = 1

Da hast du ja Glück, dass wegen t=0 nicht auffällt, dass da

N ( t ) = N0 * e ^- lambda*t  stehen muss :-) 

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N(t) = N0·e ^{- λ*t}

Dies ist eine mögliche Grundformel für
Exponentialgleichungen ( hier Zerfall ).
Die Variable ( hier t ) ist im Exponent.
Als Basis wurde " e " gewählt.
Eulersche Zahl e = 2.71..

Analogie dazu die Kapitalvermehrung.
Zinsen : 4 %
Zinsfaktor : 1.04
Ausgangskapital K0

Die Exponentialgleichung lautet
K ( t ) = K0 * 1.04 ^t

t =  4 jahre
1.Jahr : 100 * 1.04
2.Jahr : ( 100 * 1.04 ) * 1.04 = 100 * 1.04 ^2
3. Jahr : 100 * 1.04 * 1.04 * 1.04 = 100 * 1.04 ^3
4. Jahr : 100 * 1.04 ^4

Answer 3

N(t) = N0·e^{- λ·t}

N(3) = 100·e^{- λ·3} = 50 --> λ = 0.2310490601

Damit lautet die Zerfallsfunktion

N(t) = 100·e^{- 0.23105·t}

Comments

N(t) = N₀·e^λ·t

die Zerfallskonstante λ ist wieder einmal eine Variable "mit Vorbedeutung".

Sie wird positiv angeben und das Zerfallsgesetz lautet:

N(t) = N₀ · e^-λ·t  

 https://de.wikipedia.org/wiki/Zerfallsgesetz

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Da hast du recht. Ich hatte das minus aus Unachtsamkeit nicht hingeschrieben. Ich trage das nach.