Abstandsbestimmung eines Vektors a zur Ebene mithilfe des Normaleneinheitsvektors

Question

Heyhu Leute, nach einer etwas längeren untersuchung im Internet hab ich noch keine Antwort auf meine Frage gefunden. Ich habe im Unterricht noch irgendwas im Hinterkopf gehabt, das man irgendwie mithilfe des Normaleneinheitsvektors (Also Normalenvektor mit Länge 1) auch irgendwie den Abstand eines beliebigen Punktes zur Ebene herausfinden kann.

Hat irgendwer dafür den Ansatz im Kopf und eine kleine Erklärung parat? (Also gerne erklärt bekommen wieso der Abstand sich so berechnen lässt und nichtnur die Formel).

Answer 1

Sei

        P ein Punkt mit Ortsvektor p,

        x = a + rv₁ + sv₂ eine Parameterdarstellung der Ebene und

        n ein Normalenvektor der Ebene.

Eine Parameterdarstellung der Geraden G, die senkrecht zur Ebene und durch den Punkt P verläuft, lautet dann

        x = p + tn.

Löse die Gleichung p + tn = a + rv₁ + sv₂ . Setzt man die Lösung t=t₀ in die Parameterdarstellung von G ein, dann bekommt man den Schnittpunkt S der Geraden G mit der Ebene. Der Abstand zwischen P und S ist der gesuchte Abstand von P zur Ebene und es gilt |PS| = |t₀n|.

Ist n zusätzlich noch ein Einheitsvektor, dann ist |PS| = |t₀n| = |t₀|. Man erspart sich dadurch die explizite Berechnung von S. Der Preis dafür ist die Normierung des Vektors n.

Comments

Wenn man wie du schon sagtest, sich durch deine Herleitung "|PS| = |tn| = |t|", die explizite Berechnung von S spart, wie kann man denn genau t bestimmen?

Oder kommt man am Ende nicht drum herum den Schnittpunkt der "Lotgeraden" mit dem Aufpunkt des Berechnenden Abstandpunktes und der Ebene zu berechnen?

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wie kann man denn genau t bestimmen?

Indem man die Gleichung p + tn = a + rv₁ + sv₂ löst.

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Ach hups,

natürlich hätte ich auch drauf kommen sollen :)

Danke vielmals

Answer 2

Zuerst errechnet man einen Lotvektor auf der Ebene e als Vektorprodukt der Richungsvektoren aus der Ebenengleichung. Dann baut man eine Gerade g durch den Punkt P, dessen Abstand zur Ebene e man messen will, in Richung des Lotvektors. Der Schnittpunkt von g und e sei S. Die Länge von SP ist der gesuchte Abstand.