Weil du hier ein Kreuzprodukt aus zwei Mengen hast, also A∪B und die Menge M, ist bei solchen Mengenbeweisen der Ansatz ein Tupel aus zwei Elementen zu nehmen, wobei das eine Element aus A∪B ist und das andere aus M, d.h man kann so starten.
Sei (d,r)∈(A∪B)xM. Dann ist
(d,r)∈(A∪B)xM ⇔ ... ⇔ (d,r)∈(AxM)∪(BxM).
Du musst also die Aussage (durch Logik) solange umformen, bist auf der anderen Seite (rechte) rauskommst. Diese Zwischenschritte habe ich hier durch ... angedeutet. Betrachte zunächst (d,r)∈(A∪B)xM. Wie kann man das anders umschreiben, sodass der Aussagegehalt derselbe bleibt? Und so gehst du nach jeder Umformung vor, eben wieder dann zu schauen, wie man sie weiter umformen kann. Falls man dabei nicht mehr weiterkommen sollte, dann kann man zunächst auf der anderen Seite, also bei (d,r)∈(AxM)∪(BxM) anfangen, sodass sich beide Seiten immer mehr annähern.
